베셀 함수의 직교성
정리
$\alpha, \beta$를 제1 종 베셀 함수 $J_{\nu}(x)$의 근이라고 하자. 그러면 구간 $[0,1]$에서 $\sqrt{x}J_{\nu}(x)$는 직교 집합을 이룬다.
$$ \int_{0}^{1} x J_{\nu}(\alpha x) J_{\nu}(\beta x)dx = \begin{cases} 0 &\alpha\ne \beta \\ \frac{1}{2}J^{2}_{\nu+1}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu-1}^{2}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu^{\prime}}^{2}(\alpha) &\alpha=\beta \end{cases} $$
설명
위의 내용은 '베셀 함수 $J_{\nu}(x)$가 구간 $[0,1]$에서 가중 함수 $x$에 대해서 직교한다'고도 표현할 수 있다.
증명
$\alpha \ne \beta$
$J_{\nu}(\alpha x)$, $J_{\nu}(\beta x)$가 만족하는 미분 방정식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} x(xy^{\prime})^{\prime}+(\alpha^{2}x^{2}-\nu^{2})y &= 0 \\ x(xy^{\prime})^{\prime}+(\beta ^{2}x^{2}-\nu^{2})y &= 0 \end{align*} $$
여기서 $J_{\nu}(\alpha x)=u$, $J_{\nu}(\beta x)=v$라고 치환하면
$$ \begin{align} x(xu^{\prime})^{\prime}+(\alpha^{2}x^{2}-\nu^{2})u &= 0 \\ x(xv^{\prime})^{\prime}+(\beta ^{2}x^{2}-\nu^{2})v &= 0 \end{align} $$
이제 $v \cdot (1)-u \cdot (2)$를 계산하면
$$ \begin{align*} && vx(xu^{\prime})^{\prime}-ux(xv^{\prime})^{\prime}+(\alpha^{2}-\beta^{2})x^{2}uv = 0 \\ \implies && v(xu^{\prime})^{\prime}-u(xv^{\prime})^{\prime}+(\alpha^{2}-\beta^{2})xuv = 0 \\ \implies && (vxu^{\prime}-uxv^{\prime})^{\prime}+(\alpha^{2}-\beta^{2})xuv = 0 \end{align*} $$
양변을 구간 $[0,1]$에서 적분하면
$$ [vxu^{\prime}-uxv^{\prime}]_{0}^{1}+ (\alpha^{2} -\beta^{2})\int_{0}^{1}xuvdx = 0 \tag{3} $$
$u(1)=J_{\nu}(\alpha)=0=J_{\nu}(\beta)=v(1)$이므로 첫항은 $0$이다. 따라서
$$ (\alpha^{2} -\beta^{2})\int_{0}^{1}xuvdx = 0 $$
그런데$(\alpha^{2}-\beta ^{2}) \ne 0$이므로
$$ \int_{0}^{1}xuvdx=\int_{0}^{1}xJ_{\nu}(\alpha x)J_{\nu}(\beta x)=0 $$
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$\alpha = \beta$
이번에는 $\alpha$는 $J_{\nu}(x)$의 근이고 $\beta$는 아니라고 가정하자. 위의 증명에서 $(3)$은 $\alpha$, $\beta$가 $J_{\nu}(x)$의 근인지의 여부와 관계 없이 이끌어 낼 수 있으므로 $(3)$에서부터 시작하자. 정리하면
$$ \begin{align*} && [v(1)u^{\prime}(1)-u(1)v^{\prime}(1)]+(\alpha^{2} -\beta^{2})\int_{0}^{1}xuv dx &=0 \\ \implies && [J_{\nu}(\beta) \alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha)-J_{\nu}(\alpha)\beta J_{\nu}^{\prime}(\beta)]+(\alpha^{2} -\beta^{2})\int_{0}^{1}xuv dx &= 0 \\ \implies && J_{\nu}(\beta) \alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha)+(\alpha^{2} -\beta^{2})\int_{0}^{1}xuv dx &=0 \\ \implies && \int_{0}^{1}xJ_{\nu}(\alpha x)J_{\nu}(\beta x) dx &= \frac{J_{\nu}(\beta)\alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha )}{\beta^{2}- \alpha^{2}} \end{align*} $$
여기서 양변에 $\beta \rightarrow \alpha$의 극한을 취하면
$$ \lim \limits_{\beta \rightarrow \alpha} \int_{0}^{1}xJ_{\nu}(\alpha x)J_{\nu}(\beta x) dx =\lim \limits_{\beta \rightarrow \alpha} \frac{J_{\nu}(\beta)\alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha )}{\beta^{2}- \alpha^{2}}=\frac{ 0 }{ 0 } $$
따라서 로피탈 정리를 사용해서 계산하자. 우변을 $\beta$로 미분하면
$$ \begin{align*} \lim \limits_{\beta \rightarrow \alpha} \int_{0}^{1}xJ_{\nu}(\alpha x)J_{\nu}(\beta x) dx &= \lim \limits_{\beta \rightarrow \alpha} \frac{J_{\nu}(\beta)\alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha )}{\beta^{2}- \alpha^{2}} \\ &= \lim \limits_{\beta \rightarrow \alpha} \frac{J_{\nu}^{\prime}(\beta)\alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha )}{2\beta} \\ &= \frac{J_{\nu}^{\prime}(\alpha)\alpha J_{\nu}^{\prime}(\alpha )}{2\alpha} \\ &= \frac{1}{2}J_{\nu}^{\prime}(\alpha) \end{align*} $$
그리고 베셀 함수의 재귀관계 $(e)$에 의해
$$ \frac{1}{2}J_{\nu}^{\prime}(\alpha) =\frac{1}{2}J_{\nu-1}(\alpha) =\frac{1}{2}J_{\nu+1}(\alpha) $$
따라서
$$ \int_{0}^{1}xJ_{\nu}^{2}(\alpha x)dx=\frac{1}{2}J^{2}_{\nu+1}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu-1}^{2}(\alpha)=\frac{1}{2}J_{\nu^{\prime}}^{2}(\alpha) $$
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