📂복소해석

ML 보조정리 증명

정리 ¹

함수 $f$ 가 적분경로 $\mathscr{C}: z = z(t), t \in [a,b]$ 에서 조각마다 연속라고 하자. 양수 $\displaystyle L = \int_{a}^{b} |z’(t)| dt$ 는 $\mathscr{C}$ 의 길이고, $\mathscr{C}$ 상의 모든 점에 대해 $|f(z)| \le M$ 을 만족하는 양수 $M$ 이 존재한다면 $$\left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML$$

증명

함수 $z’: [a,b] \to \mathbb{C}$ 에 대해 $\displaystyle \left| \int_{a}^{b} z’(t) dt \right| = r$ 이라 하자.

$r \ne 0$ 이면 $\displaystyle \int_{a}^{b} z’(t) dt = r e^{i \theta}$ 로 나타낼 수 있다. 그러면 $\theta$ 는 상수이므로 $$r = \int_{a}^{b} e^{- i \theta} z’(t) dt \le \int_{a}^{b} \left| e^{- i \theta} z’(t) \right| dt = \int_{a}^{b} \left| e^{- i \theta} \right| \left| z’(t) \right| dt$$ 여기서 실수의 허수승은 항상 크기가 1이므로, $\left| e^{ - i \theta} \right| = 1$ 이다. 즉, $$\left| \int_{a}^{b} z’(t) dt \right| = r \le \int_{a}^{b} \left| z’(t) \right| dt$$ 이로써 실함수에서 성립하던 정적분의 성질이 복소함수에서도 성립함을 알 수 있다. 위에서 유도한 부등식을 쓰면 $$\begin{align*} \left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| =& \left| \int_{a}^{b} f(z(t)) z’(t) dt \right| \\ \le & \int_{a}^{b} \left| f(z(t)) \right| \left| z’(t) \right| dt \\ =& \int_{a}^{b} M \left| z’(t) \right| dt \\ =& ML \end{align*}$$

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설명

ML 보조정리에서 M은 Maximum, L은 Length를 뜻한다.

ML 보조정리를 사용할 때 헷갈리기 쉬운 것이 바로 $L$ 을 잡는 방법이다. 원래의 적분에서 $\mathscr{C}$ 이 반지름이 $r$ 인 원으로 주어지고, 치환할 때 적분구간이 $[0,2\pi]$ 가 되는 경우가 잦다. 치환하고 나서 ML 보조정리를 쓰면 $L$ 은 원래 원의 둘레인 $2\pi r$ 이 아니라 치환 후 적분구간의 길이인 $2 \pi$ 를 사용해야한다. 다시 말해, 치환함으로써 새롭게 생겨나는 곡선(선분)인 $\mathscr{C} '$ 에 대해 ML 보조정리를 적용해야한다는 사실을 잊기 쉽다는 것에 주의해야한다.