베셀 함수의 재귀 관계
정리
$$ J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} \tag{1} $$
위의 함수를 $\nu$차 제1종 베셀 함수라 한다. 1종 베셀함수 $J_{\nu}(x)$는 아래의 식을 만족한다.
$$ \begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{\nu} J_{\nu}(x)] &= x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \tag{a} \\ \frac{d}{dx}[x^{-\nu}J_{\nu}(x)] &= -x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) \tag{b} \\ J_{\nu-1}(x)+J_{\nu+1}(x) &= \frac{2\nu}{x}J_{\nu}(x) \tag{c} \\ J_{\nu-1}(x)-J_{\nu+1}(x) &= 2J^{\prime}_{\nu}(x) \tag{d} \\ J_{\nu}^{\prime}(x) = -\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)+J_{\nu-1}(x) &= \frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)-J_{\nu+1}(x) \tag{e} \end{align*} $$
증명
$(a)$
$(1)$에 $x^{\nu}$를 곱한 뒤 미분하면 쉽게 얻을 수 있다.
$$ \begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{\nu} J_{\nu}(x)] &= \frac{d}{dx} \left[ x^{\nu} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} \right) \\ &= \frac{d}{dx} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \frac{x^{2n+2\nu}}{2^{2n+\nu}} \\ &= \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+2\nu)}{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \frac{x^{2n+2\nu-1}}{2^{2n+\nu}} \tag{2} \end{align*} $$
감마함수는 관계식 $\Gamma (n+\nu+1)=(n+\nu)\Gamma (n+\nu)$를 만족하므로 $(2)$의 분모의 $2(n+\nu)$를 약분하면
$$ \begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{\nu} J_{\nu}(x)] &= \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu)} \frac{x^{2n+2\nu-1}}{2^{2n+\nu-1}} \\ &= x^{\nu}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu)} \frac{x^{2n+\nu-1}}{2^{2n+\nu-1}} \\ &= x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \end{align*} $$
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$(b)$
증명 방법의 큰 틀은 $(a)$와 같으나 놓치기 쉬운 부분이 있어서 생략없이 설명한다. $(a)$와 같이 $(1)$에 $x^{-\nu}$를 곱한뒤 미분하면
$$ \begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_{\nu}(x)] &= \frac{d}{dx}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \frac{x^{2n}}{2^{2n+\nu}} \\ &= \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}2n }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \frac{x^{2n-1}}{2^{2n+\nu}} \end{align*} $$
$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)$이므로 분모의 $2n$을 약분하고 $\frac{x}{2}$의 차수를 맞춰주면
$$ \begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_{\nu}(x)] &= x^{-\nu}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n) \Gamma (n+\nu+1)} \frac{x^{2n+\nu-1}}{2^{2n+\nu-1}} \end{align*} $$
여기서 인덱스를 $n=k+1$로 치환해주자. 그러면
$$ \begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_{\nu}(x)] &= x^{-\nu}\sum \limits_{k=-1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{\Gamma (k+1) \Gamma (k+\nu+2)} \frac{x^{2k+\nu+1}}{2^{2k+\nu+1}} \end{align*} $$
이때 $k=-1$이면 분모가 $\Gamma (k+1)=\Gamma (0)=\infty$로 발산하므로 $0$이다. 따라서 인덱스가 $k=0$부터 시작해도 무관하다.
$$ \begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_{\nu}(x)] &= x^{-\nu}\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} }{\Gamma (k+1) \Gamma (k+\nu+2)} \frac{x^{2k+\nu+1}}{2^{2k+\nu+1}} \\ &= -x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) \end{align*} $$
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$(c)$, $(d)$
$(a)$를 $J_{\nu-1}(x)$에 대해서 정리하고 $(b)$를 $J_{\nu+1}(x)$에 대해서 정리한 뒤 더하고 빼주면 바로 얻을 수 있다.
$$ \begin{align*} J_{\nu-1}(x) &= x^{-\nu} \frac{d}{dx}\left[x^{\nu} J_{\nu}(x)\right] \\ &= x^{-\nu} \nu x^{\nu-1}J_{\nu}(x)+x^{-\nu}x^{\nu}J_{\nu}^{\prime}(x) \\ &= \nu x^{-1}J_{\nu}(x) + J_{\nu}^{\prime}(x) \end{align*} \tag{3} $$
$$ \begin{align*} J_{\nu+1}(x) &= -x^{\nu} \frac{d}{dx}\left[x^{-\nu} J_{\nu}(x) \right] \\ &= -x^{\nu}(-\nu) x^{-\nu-1}J_{\nu}(x)-x^{\nu}x^{-\nu}J_{\nu}^{\prime}(x) \\ &= \nu x^{-1}J_{\nu}(x) - J_{\nu}^{\prime}(x) \end{align*} \tag{4} $$
$(3)+(4)$를 계산하면
$$ J_{\nu-1}+J_{\nu+1}(x)=\frac{2\nu}{x}J_{\nu}(x) $$
$(3)-(4)$를 계산하면
$$ J_{\nu-1}-J_{\nu+1}(x)=2J_{\nu}^{\prime}(x) $$
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$(e)$
$(a)$와 $(b)$의 좌변을 풀어서 정리하면 쉽게 얻을 수 있다. 먼저 $(a)$의 좌변을 풀고 $J_{\nu}^{\prime}(x)$에 대해서 정리하면
$$ \begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{\nu} J_{\nu}(x)] &=x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \\ \nu x^{\nu-1}J_{\nu}(x) + x^{\nu} J_{\nu}^{\prime}(x) &= x^{\nu}J_{\nu-1}(x) \\ J_{\nu}^{\prime}(x) &= -\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)+J_{\nu-1}(x) \end{align*} $$
$(b)$에 대해서도 같은 작업을 해주면
$$ \begin{align*} \frac{d}{dx}[x^{-\nu} J_{\nu}(x)] &=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) \\ -\nu x^{-\nu-1}J_{\nu}(x) + x^{-\nu} J_{\nu}^{\prime}(x) &=-x^{-\nu}J_{\nu+1}(x) \\ J_{\nu}^{\prime}(x) &= \frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)-J_{\nu+1}(x) \end{align*} $$
따라서
$$ J_{\nu}^{\prime}(x)=-\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)+J_{\nu-1}(x)=\frac{\nu}{x}J_{\nu}(x)-J_{\nu+1}(x) $$
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