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베셀 방정식의 두번째 급수해: 제2 종 베셀 함수, 노이만 함수, 베버 함수

정의¹

베셀 방정식의 두번째 해^{second solution}를 노이만 함수라 부르고 $N_{\nu}(x)$ 혹은 $Y_{\nu}(x)$로 표기한다. 정수가 아닌 $\nu$에 대해서

$$ N_{\nu}(x)=Y_{\nu}(x)=\frac{\cos (\nu \pi)J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\nu\pi)} $$

$\nu$가 정수일 경우 극한으로 정의한다. $n\in \mathbb{Z}$, $\nu \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$에 대해서

$$ N_{n}(x)=\lim \limits_{\nu \rightarrow n}N_{\nu}(x) $$

이때 $J_{\pm \nu}(x)$는 제1 종 베셀함수이다. 따라서 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$$ y(x)=AJ_{\nu}(x)+BN_{\nu}(x) $$

여기서 $A$, $B$는 임의의 상수

설명

$$ x^{2}y^{\prime \prime} + xy^{\prime} +(x^{2}-\nu^{2})y=0 $$

위 베셀 방정식의 급수 해를 $J_{\pm\nu}(x)$라고 표기하고 $\nu$차 제1 종 베셀함수라 한다.

$$ J_{\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} }{\Gamma (n+1) \Gamma (n+\nu+1)} \left(\frac{x}{2} \right)^{2n+\nu} $$

$$ J_{-\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu} $$

보다시피 두 해는 독립이기 때문에 일반해는 아래와 같다.

$$ y(x)=AJ_{\nu}(x)+BJ_{-\nu}(x) $$

그런데 $\nu$가 정수일 경우 두 해는 선형 독립이 아니다. 따라서 $\nu$가 정수일 때도 $J_{\nu}(x)$와 독립인 두번째 해를 구해야 한다.

잠시 $\sin x$와 $\cos x$를 생각해보자. 두 함수는 선형 독립이다. 그런데 $\sin x$와 $\cos x$의 어떤 선형 결합인 $2\sin x -5\cos x$도 $\sin x$와 선형 독립이다. 이와 같은 아이디어로 $J_{\nu}(x)$와 $J_{-\nu}(x)$의 임의의 선형 결합을 베셀 방정식의 두번째 해라고 둔다.

$$ \begin{equation} N_{\nu}(x)=\frac{\cos (\nu \pi)J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\nu\pi)} \label{eq1} \end{equation} $$

$N_{\nu}(x)$는 $\nu$의 조건과 무관하게 $J_{\nu}(x)$와 독립이라는 것을 알 수 있다. 그런데 여기서 다시 문제가 생기는데 $\nu$가 정수이면

$$ N_{\nu}(x)=\frac{\cos (\nu \pi)J_{\nu}(x)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\nu\pi)}=\frac{(-1)^{\nu}J_{\nu}(x)-(-1)^{\nu}J_{\nu}(x)}{0}=\frac{0}{0} $$

이므로 정의되지 않는다. 따라서 $\nu$가 정수일 때는 다음과 같이 극한을 사용해서 정의한다.

$$ N_{n}(x)=\lim \limits_{\nu \rightarrow n}N_{\nu}(x)\quad \text{for }n\in \mathbb{Z},\ \nu \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z} $$

이때 임의의 $x \ne 0$에 대해서 위 극한이 존재한다.

정리

정수인 $\nu$에 대해서 베셀 함수 $J_{\pm \nu}(x)$는 아래의 식을 만족한다. 다시말해 독립이 아니다.

$$ J_{-\nu}(x)=(-1)^{\nu}J_{\nu}(x) $$

증명

$$ J_{-\nu}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-\nu+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2n-\nu} $$

에서 $n=k+\nu$로 치환하자. 그러면

$$ J_{-\nu}(x)=\sum \limits_{k=-\nu}^{\infty}\frac{(-1)^{k+\nu}}{\Gamma (k+\nu+1)\Gamma (k+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k+\nu} $$

감마함수는 $0$과 음의 정수에서 발산하므로 $k=-\nu,-\nu+1,\cdots,-1$일 때 분모의 $\Gamma (k+1)$은 발산하여 $J_{-\nu}(x)=0$이다. 따라서

$$ \begin{align*} J_{-\nu}(x)&=\sum \limits_{k=-\nu}^{\infty}\frac{(-1)^{k+\nu}}{\Gamma (k+\nu+1)\Gamma (k+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k+\nu} \\ &=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+\nu}}{\Gamma (k+\nu+1)\Gamma (k+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k+\nu} \\ &=(-1)^{\nu}\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{\Gamma (k+\nu+1)\Gamma (k+1)} \left( \frac{x}{2} \right)^{2k+\nu} \\ &=(-1)^{\nu}J_{\nu}(x) \end{align*} $$

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