📂함수

버금 르장드르 다항식

정의

버금 르장드르 다항식은 다음과 같은 방법들로 정의된다.

미분방정식의 해로서

아래의 버금 르장드르 미분반정식의 해를 버금 르장드르 다항식이라 한다.

$$\begin{align*} && (1-x^{2}) \frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2x \frac{dy}{dx} + \left[l(l+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] y &= 0 \\ \text{or} && \frac{d}{dx} \left[(1-x^{2})y^{\prime}\right] + \left[l(l+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] y &= 0 \end{align*}$$

로드리게스 공식

다음의 다항함수 $P_{l}^{m}$을 버금 르장드르 다항식^{associated Legendre polynomial}이라 한다.

$$\begin{align*} P_{l}^{m}(x) &= (1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\right] \end{align*}$$

이때 $P_{l}$은 르장드르 다항식이며, 위 공식을 로드리게스 공식이라 한다.

설명

$m=0$인 경우 버금 르장드르 미분방정식은 르장드르 미분방정식이 되고, 버금 르장드르 다항식은 르장드르 다항식이 된다. 즉 $P_{l}^{0}(x) = P_{l}(x)$이다. 르장드르 미분 방정식과 그 해는 버금 르장드르 미분 방정식의 특별한 경우에 해당된다.

성질

버금 르장드르 미분방정식의 삼각함수 꼴

삼각함수로 표현된 버금 르장드르 미분방정식은 다음과 같다.

$$\begin{align*} \frac{ d^{2} y}{ d \theta^{2} }+\cot \theta \frac{ d y}{ d \theta}+ \left( l(l+1) -\frac{m^{2}}{\sin ^{2 }\theta} \right)y=0 \\ \mathrm{or} \quad\frac{1}{\sin \theta}\left(\sin \theta \frac{dy}{d\theta} \right)+ \left(l(l+1) -\frac{ m^{2}}{\sin ^{2} \theta} \right)y=0 \end{align*}$$

$m$의 부호에 따른 관계식

버금 르장드르 다항식은 $m$의 부호에 따라 아래의 비례식이 성립한다. (링크)

$$P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_{l}^{m}(x)$$

직교성

구간 $[-1,1]$에서 고정된 $m$에 대한 버금 르장드르 다항식은 직교 집합을 이룬다. (링크)

$$\int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk}$$

$x=\cos \theta$일 경우에는

$$\int_{0}^{\pi} P_{l}^{m}(\cos \theta)P_ {k}^{m}(\cos\theta)\sin \theta d\theta =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk}$$

규격화

규격화된 버금 르장드르 다항식은 아래와 같다. (링크)

$$P_{l}^{m}(x) = \sqrt{\frac{2l+1}{2}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(x)$$