버금 르장드르 다항식의 직교성
정리
구간 $[-1,1]$에서 고정된 $m$에 대한 버금 르장드르 다항식은 직교 집합을 이룬다.
$$ \int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk} $$
$$ \int_{0}^{\pi} P_{l}^{m}(\cos \theta)P_ {k}^{m}(\cos\theta)\sin \theta d\theta =\frac{ 2}{ 2l+1 }\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\delta_{lk} $$
버금 르장드르 다항식 $$ P_{l}^{m}(x) = (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l $$
증명
우선 편의를 위해 간단히 $P_{lm} = P_{l}^{m}(x)$과 같이 표기하자. 버금 르장드르 미분방정식은 아래와 같다.
$$ \begin{equation} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right] +\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]P_{lm} = 0 \end{equation} $$
경우 1: $l \ne k$
증명 방식은 르장드르 다항식의 직교성을 보이는 것과 같다. $(1)$을 $l$, $k$에 대해서 쓰면,
$$ \frac{d}{dx} \left[(1-x^{2}) P_{lm}^{\prime}\right] + \left[l(l+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] P_{lm} = 0 \\ \frac{d}{dx} \left[(1-x^{2}) P_{km}^{\prime}\right] + \left[k(k+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right] P_{km} = 0 $$
위의 식($l$에 대한 식)에 $P_{km}$을 곱하고, 아래의 식($k$에 대한 식)에 $P_{lm}$을 곱한 뒤 서로 빼주면 다음과 같다.
$$ \begin{equation} P_{km} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right]-P_{lm}\frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{km}^{\prime} \right]+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]P_{lm}P_{km} = 0 \end{equation} $$
여기서 첫째항, 둘째항을 다음과 같이 정리할 수 있다.
$$ \begin{align*} &\quad \ P_{km} \frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{lm}^{\prime} \right]-P_{lm}\frac{d}{dx} \left[ (1-x^{2})P_{km}^{\prime} \right] \\ &= P_{km}(1-x^{2})^{\prime}P_{lm}^{\prime}+P_{km}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime \prime}-P_{lm}(1-x^{2})^{\prime}P_{km}^{\prime}-P_{lm}(1-x^{2})P_{km}^{\prime \prime} \\ &= {\color{blue}P_{km}(1-x^{2})^{\prime}P_{lm}^{\prime}+P_{km}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime \prime}}-{\color{orange}P_{lm}(1-x^{2})^{\prime}P_{km}^{\prime}-P_{lm}(1-x^{2})P_{km}^{\prime \prime} } \\ &\quad + {\color{blue}P_{km}^{\prime}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}}-{\color{orange}P_{km}^{\prime}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}} \\ &= \frac{d}{dx}\left[{\color{blue}(1-x^{2})P_{lm}^{\prime}P_{km}}-{\color{orange}(1-x^{2})P_{lm}P_{km}^{\prime} } \right] \\ &= \frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right] \end{align*} $$
이를 $(2)$에 대입하면,
$$ \frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right]+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]P_{lm}P_{km}=0 $$
양변을 구간 $[-1,1]$에서 적분하면 다음을 얻는다.
$$ \left[(1-x^{2})(P_{lm}^{\prime}P_{km}-P_{lm}P_{km}^{\prime}) \right]_{-1}^{1}+\left[l(l+1)- k(k+1) \right]\int_{-1}^{1}P_{lm}P_{km}dx=0 $$
첫번째 항은 $0$이므로 아래와 같다.
$$ \left[l(l+1)- k(k+1) \right]\int_{-1}^{1}P_{lm}P_{km}dx=0 $$
이때 $l \ne k$이므로 $l(l+1)-k(k+1)\ne 0$이다. 그러므로 다음과 같다.
$$ \int_{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)dx=0 $$
■
경우 2: $l=k$
다음이 성립한다.
$$ \frac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^{2}-1)^{l}=\frac{(l+m)!}{(l-m)!}(x^{2}-1)^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \tag {3} $$
위의 공식을 버금 르장드르 다항식에 대입하면,
$$ \begin{align*} P_{l}^{m}(x) &= (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l \\ &= (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}}\dfrac{1}{2^l l!} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}(x^{2}-1)^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \\ &= \dfrac{(-1)^{m}}{2^l l!} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}(1-x^{2})^{-\frac{m}{2}}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \end{align*} $$
위 식의 양변을 제곱하면 다음을 얻는다.
$$ [P_{l}^{m}(x)]^{2} =\dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \left[ \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \right]^{2}(1-x^{2})^{-m}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} $$
위 식에 다시 $(3)$을 대입하면,
$$ \begin{align*} &\quad \ [P_{l}^{m}(x)]^{2} \\ &= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \left[ \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \right]^{2}(1-x^{2})^{-m}\left[ \frac{(l-m)!}{(l+m)!}(x^{2}-1)^{m}\frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l} \right]\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \\ &= \dfrac{(-1)^{m}}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \end{align*} $$
이제 양변을 구간 $[-1,1]$에서 적분하면 아래와 같다.
$$ \begin{align*} &\quad \ \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx \\ &= \dfrac{(-1)^{m}}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \right]dx \tag{4} \end{align*} $$
우변의 적분 부분만 살펴보자. 부분적분으로 풀어내면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} &\quad \ \int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \right]dx \\ &= \int_{-1}^{1} \left[ \frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\right]^{\prime}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} dx \\ &= \left[ \frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l}\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l}dx \end{align*} $$
여기서 첫째항은 $0$이다. $(x^{2}-1)^{l}$은 $2l$차 다항식이고 $|m| \lt l$이므로 $l+m-1$과 $l-m$모두 $l$보다 작아서 적어도 $(x^{2}-1)$가 미분되지 않고 남아있기 때문이다. 여기에 $\pm 1$을 대입하면 $0$이다. 남은 항을 다시 부분 적분으로 풀업보면,
$$ \begin{align*} &\quad \ -\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l+m-1}}{ dx^{l+m-1} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l}dx \\ &= \left[- \frac{ d ^{l+m-2}}{ dx^{l+m-2} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+1}}{ dx^{l-m+1} }(x^{2}-1)^{l} \right]+\int_{-1}^{1} \frac{ d ^{l+m-2}}{ dx^{l+m-2} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m+2}}{ dx^{l-m+2} }(x^{2}-1)^{l}dx \end{align*} $$
여기서 첫번째 항은 위와 같은 이유로 $0$이다. 이런 식으로 부분 적분을 $m$번 반복하면 아래와 같은 식을 얻는다.
$$ \int_{-1}^{1} \frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l}\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} dx=(-1)^{m}\int_{-1}^{1}\frac{ d ^{l}}{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l}\frac{d^{l}}{dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}dx $$
따라서 $(4)$는 다음과 같다.
$$ \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1}\left[ \frac{ d ^{l}}{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l}\right]^{2}dx $$
$$ P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l $$
그러면 로드리게스 공식에 의해 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx &= \dfrac{1}{2^{2l}(l!)^{2}} \frac{(l+m)!}{(l-m)!}2^{2l}(l!)^{2}\int_{-1}^{1}\left[ P_{l}(x)\right]^{2}dx \\ &= \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\int_{-1}^{1}\left[ P_{l}(x)\right]^{2}dx \end{align*} $$
그러면 르장드르 다항식의 직교성에 의해 최종적으로 다음을 얻는다.
$$ \int_{-1}^{1}[P_{l}^{m}(x)]^{2}dx = \frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!} $$
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