📂함수

인덱스 m이 음수인 경우의 버금 르장드르 다항식

공식

버금 르장드르 다항식은 $m$의 부호에 따라 아래의 비례식이 성립한다.

$$P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_{l}^{m}(x)$$

$$(1-x^{2})\frac{ d^{2}y }{ dx^{2} }-2x \frac{dy}{dx}+\left( \frac{-m^{2}}{1-x^{2}}+l(l+1) \right)y=0$$

설명

버금 르장드르 미분 방정식을 보면 $m$에 대한 부분이 $m^2$으로 나타나있으므로 $m$이 음수인지 양수인지에 대해서는 해에 영향을 주지 않는다. 그래서 버금 르장드르 다항식도 아래와 같이 이끌어냈다.

$$\begin{align*} P_{l}^{m}(x)&= (1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l\right] \end{align*}$$

따라서 위 식대로면 $P_{l}^{m}(x)=P_{l}^{-m}(x)$이다. 하지만 둘이 같다고 보기 보다는 서로 비례한다고 본다. 미분 방정식의 해에 단순히 상수를 곱해도 여전히 해이므로, $A$를 임의의 상수라고 했을 때, $P_{l}^{-m}(x)$를 $AP_{l}^{m}(x)$과 같이 표현한다는 것이다. 본 글에서는 $A=(-1)^{m}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}$이 됨을 보일 것이다.

유도

우선 연관 드장드르 다항식에서 미분 부분에 라이프니츠 규칙을 적용하면

$$\begin{align*} \frac{ d ^{l+|m|}}{ dx^{l+|m|} }(x^{2}-1)^{l} &= \frac{ d ^{l+|m|}}{ dx^{l+|m|} }[(x-1)^{l}(x+1)^{l}] \\ &=\sum \limits _{k=0}^{l+|m|} \frac{(l+|m|)!}{(l+|m|-k)!k!}\frac{ d ^{l+|m|-k}}{ dx^{l+|m|-k} }(x+1)^{l}\frac{ d ^{k} }{ dx^{k} }(x-1)^{l} \tag{1} \end{align*}$$

Case 1. $m>0$

여기서 $m>0$인 경우를 생각해보자. 그러면 $l+|m|-k=l+m-k=l+(m-k)$이다. 인덱스 $k$는 $0$부터 $l+m$까지 간다. 이 때 $k < m$인 경우를 생각해보면 $l+(m-k)>l$이므로 최고차항의 차수보다 미분횟수가 많아서

$$\frac{ d ^{l+|m|-k}}{ dx^{l+|m|-k} }(x+1)^{l}=0$$

이다. 따라서 $0\le k <m$에 대해서 $(1)$의 우변은 모두 $0$이다. 마찬가지로 $k>l$이면 $\frac{ d ^{k}}{ dx^{k} }(x-1)^{l}=0$이므로 $k\le l$에 대해서만 우변에 $0$이 아닌 항이 존재한다. 즉 $m\le k \le l$가 아닌 $k$에 대해서는 우변이 $0$이므로 $\sum\limits_{k=0}^{l+m}=\sum\limits_{k=m}^{l}$이 성립한다. 따라서

$$\begin{align*} \frac{ d ^{l}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l} &= \sum \limits_{k=m}^{l}\frac{(l+m)!}{(l+m-k)!k!}\frac{ d ^{l+m-k}}{ dx^{l+m-k}}(x+1)^{l}\frac{ d ^{k}}{ dx^{k} }(x-1)^{l} \\ &= \sum \limits_{k=m}^{l}\frac{(l+m)!}{(l+m-k)!k!}l(l-1)\cdots(l-l-m+k+1)(x+1)^{l-l-m+k} \\ &\qquad l(l-1)\cdots(l-k+1)(x-1)^{l-k} \\ &= \sum \limits_{k=m}^{l}\frac{(l+m)!}{(l+m-k)!k!}\frac{l!}{(k-m)!}(x+1)^{k-m}\frac{l!}{(l-k)!}(x-1)^{l-k} \\ &=(l!)^{2}\sum \limits_{k=m}^{l}\frac{(l+m)!}{(l+m-k)!k!}\frac{1}{(k-m)!}\frac{1}{(l-k)!}(x+1)^{k-m}(x-1)^{l-k} \tag{2} \end{align*}$$

Case 2. $m<0$

이 경우에 식 $(1)$은

$$\begin{align*} \frac{ d ^{l+|m|}}{ dx^{l+|m|} }(x^{2}-1)^{l}&=\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l} \\ &= \sum \limits _{k=0}^{l-m} \frac{(l-m)!}{(l-m-k)!k!}\frac{ d ^{l-m-k}}{ dx^{l-m-k} }(x+1)^{l}\frac{ d ^{k} }{ dx^{k} }(x-1)^{l} \\ &= \sum \limits _{k=0}^{l-m} \frac{(l-m)!}{(l-m-k)!k!}\frac{l!}{(k+m)!}(x+1)^{k+m}\frac{ l! }{ (l-k)! }(x-1)^{l-k} \\ &= (l!)^{2}\sum \limits _{k=0}^{l-m} \frac{(l-m)!}{(l-m-k)!k!}\frac{1}{(k+m)!}\frac{1 }{ (l-k)! }(x+1)^{k+m}(x-1)^{l-k} \end{align*}$$

여기서 인덱스를 $k=k-m$로 바꿔주면

$$\frac{ d ^{l-m}}{ dx^{l-m} }(x^{2}-1)^{l}= (l!)^{2}\sum \limits _{k=m}^{l} \frac{(l-m)!}{(l-k)!(k-m)!}\frac{1}{k!}\frac{1 }{ (l+m-k)! }(x+1)^{k}(x-1)^{l+m-k} \tag{3}$$

$(2)$, $(3)$을 종합하면

$$\frac{d^{l-m}}{dx^{l-m}}(x^{2}-1)^{l}=\frac{(l-m)!}{(l+m)!}(x+1)^{m}(x-1)^{m}\frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l} \label{(4)} \tag{4}$$

이다. 그리고 $m>0$일 때

$$P_{l}^{m}(x)=(1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^l$$

인데 우리는 지금 $m\rightarrow-m$인 경우를 구하고 싶으므로 $m$대신 $-m$를 대입하면

$$P_{l}^{-m}(x)=(1-x ^{2})^{-\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^{l-m}}{dx^{l-m}}(x^2-1)^l$$

여기에 $(4)$를 대입하면

$$\begin{align*} P_{l}^{-m}(x) &= (1-x ^{2})^{-\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^l l!} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}(x+1)^{m}(x-1)^{m}\frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l} \\ &= (1-x ^{2})^{-m } \frac{(l-m)!}{(l+m)!}(x^{2}-1)^{m}\left[(1-x ^{2})^{\frac{m}{2}}\dfrac{1}{2^l l!}\frac{ d ^{l+m}}{ dx^{l+m} }(x^{2}-1)^{l} \right] \\ &= (1-x ^{2})^{-m } \frac{(l-m)!}{(l+m)!}(x^{2}-1)^{m}P_{l}^{m}(x) \\ &= (-1)^{m}(x ^{2}-1)^{-m } \frac{(l-m)!}{(l+m)!}(x^{2}-1)^{m}P_{l}^{m}(x) \\ &= (-1)^{m} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_{l}^{m}(x) \end{align*}$$

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