르장드르 다항식의 재귀 관계
정리
$$ P_{l}(x)=\dfrac{1}{2^l l!} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l \tag{1} $$
위와 같은 르장드르 다항식 $P_{l}$은 다음의 재귀 관계식을 만족한다.
$$ P^{\prime}_{l+1}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)=(2l+1)P_{l}(x) \tag{a} $$
$$ lP_{l}(x)=(2l-1)xP_{l-1}(x)-(l-1)P_{l-2}(x) \tag{b} $$
$$ xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)=lP_{l}(x)\tag{c} $$
증명
$(a)$
우선 $P_{l}(x)$의 도함수를 계산해보면,
$$ \begin{align*} \frac{d}{dx}P_{l}(x) &= \frac{1}{2^l l!}\frac{d}{dx} \dfrac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l \\ &= \frac{1}{ 2^{l}l! }\frac{ d ^{l} }{ dx^{l} }\frac{d}{dx}(x^{2}-1)^{l} \\ &= \frac{2l}{ 2^{l}l! }\frac{ d ^{l} }{ dx^{l} }\left[ x(x^{2}-1)^{l-1} \right] \\ &= \frac{1}{ 2^{l-1}(l-1)! }\frac{ d ^{l-1} }{ dx^{l-1} }\left[ (x^{2}-1)^{l-1}+2(l-1)x^{2}(x^{2}-1)^{l-2} \right] \\ &= \frac{1}{ 2^{l-1}(l-1)! }\frac{ d ^{l-1} }{ dx^{l-1} }[(x^{2}-1)+2lx^{2}-2x^{2}] (x^{2}-1)^{l-2} \\ &= \frac{1}{ 2^{l-1}(l-1)! }\frac{ d ^{l-1} }{ dx^{l-1} }[(2l-1)x^{2}-1] (x^{2}-1)^{l-2} \end{align*} $$
여기서 $l$ 대신 $l+1$를 대입하면 아래와 같다.
$$ P^{\prime}_{l+1}(x)=\frac{1}{2l!}\frac{ d ^{l} }{ dx^{l} }[(2l+1)x^{2}-1] (x^{2} -1 )^{l-1} \tag{2} $$
다시 $(1)$에 $l$ 대신 $l-1$을 대입하고 미분하면
$$ \begin{align*} P^{\prime}_{l-1}(x) &= \frac{1}{2^{l-1}(l-1)!}\frac{d}{dx} \frac{ d^{l-1} }{ d x^{l-1} }(x^{2}-1)^{l-1} \\ &= \frac{2l}{2^{l}l!}\frac{ d^{l} }{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l-1} \tag{3} \end{align*} $$
이제 $(2)-(3)$를 계산해보면 아래와 같다.
$$ \begin{align*} P^{\prime}_{l+1}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x) &= \frac{1}{2l!}\frac{ d ^{l} }{ dx^{l} }[(2l+1)x^{2}-1] (x^{2}-1)^{l-1} -\frac{2l}{2^{l}l!}\frac{ d^{l} }{ dx^{l} }(x^{2}-1)^{l-1} \\ &= \frac{1}{2^{l}l!}\frac{ d ^{l} }{ d x^{l} }[(2l+1)x^{2}-(2l+1)] (x^{2}-1)^{l-1} \\ &= \frac{1}{2^{l}l!}\frac{ d ^{l} }{ d x^{l} }(2l+1)(x^{2}-1)^{l} \\ &= \frac{2l+1}{2^{l}l!}\frac{ d ^{l} }{ d x^{l} }(x^{2}-1)^{l} \end{align*} $$
$(1)$에 의해 우변은 $(2l+1)P_{l}(x)$와 같으므로
$$ P^{\prime}_{l+1}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)=(2l+1)P_{l}(x) $$
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$(b)$
아래의 함수 $\Phi (x,h)$를 르장드르 다항식의 생성함수라 한다.
$$ \Phi (x,h)=\frac{1}{\sqrt{1-2xh+h^{2}}},\quad |h|<1 $$
생성함수는 아래의 식을 만족한다.
$$ \Phi (x,h)=P_{0}(x)+hP_{1}(x)+h^{2}P_{2}(x)+\cdots =\sum \limits_{l=0}^{\infty}h^{l}P_{l}(x) $$
Part 2. 재귀관계 증명
우선 $\Phi (x,t)$를 $t$에 대해서 미분하면 $$ \begin{align*} && \frac{ \partial \Phi}{ \partial t } &= -\frac{1}{2}(-2x+2t)(1-2xt+t^{2})^{-\frac{3}{2}} \\ \implies && (1-2xt+t^{2})\frac{ \partial \Phi}{ \partial t} &= (x-t)\Phi \end{align*} $$
이제 $\Phi (x,t)=\sum \limits_{l=0}^{\infty}t^{l}P_{l}(x)$를 위 식에 대입하면
$$ (1-2xt+t^{2})\sum \limits _{l=1}^{\infty}lt^{l-1}P_{l}(x)=(x-t)\sum\limits_{l=0}^{\infty}t^{l}P_{l}(x) $$
인덱스를 맞춰주면
$$ (1-2xt+t^{2})\sum \limits _{l=0}^{\infty}(l+1)t^{l}P_{l+1}(x)=(x-t)\sum\limits_{l=0}^{\infty}t^{l}P_{l}(x) $$
위 식은 $t$에 대한 항등식이므로 각각의 $l$에 대해서 좌우변의 $t^{l}$의 계수는 같아야한다. 따라서 $t^{l}$의 계수를 비교해보면
$$ 1 [(l+1)t^{l}P_{l+1}(x)] -2xt[(l)t^{l-1}P_{l}(x)]+t^{2}[(l-1)t^{l-2}P_{l-1}(x)]=x [t^{l}P_{l}(x)]-t[t^{l-1}P_{l-1}(x)] $$
$$ \implies (l+1)t^{l}P_{l+1}(x) -2xlt^{l}P_{l}(x)+(l-1)t^{l}P_{l-1}(x)=x t^{l}P_{l}(x)-t^{l}P_{l-1}(x) $$
$$ \implies (l+1)P_{l+1}(x) -2xlP_{l}(x)+(l-1)P_{l-1}(x)=x P_{l}(x)-P_{l-1}(x) $$
여기서 $l$ 대신 $l-1$을 대입하면
$$ lP_{l}(x) -2x(l-1)P_{l-1}(x)+(l-2)P_{l-2}(x)=x P_{l-1}(x)-P_{l-2}(x) $$
좌변을 $P_{l}(x)$에 대해서 정리하면
$$ lP_{l}(x) =(2l-1)x P_{l-1}(x)-(l-1)P_{l-2}(x) $$
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$(c)$
생성함수가 다음을 만족하는 것은 쉽게 확인할 수 있다.
$$ (x-h)\frac{ \partial \Phi}{ \partial x }=h\frac{ \partial \Phi}{ \partial h } $$
이제 생성함수의 급수꼴 $\Phi (x,h)=\sum\limits_{l=0}^{\infty}h^{l}P_{l}(x)$을 대입하면
$$ (x-h)\sum\limits_{l=0}^{\infty}h^{l}P^{\prime}_{l}(x)=h\sum\limits_{l=1}^{\infty}lh^{l-1}P_{l}(x) $$
위 식은 $h$에 대해서 항등식이므로 $h^{l}$의 계수는 좌우변이 서로 같아야 한다. 좌우변의 $h^{l}$항만 비교해보면
$$ \begin{align*} && x[h^{l}P^{\prime}_{l}(x)]-h[h^{l-1}P^{\prime}_{l-1}(x)] = h[lh^{l-1}P_{l}(x)] \\ \implies && h^{l}[xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x)] = h^{l}lP_{l}(x) \\ \implies && xP^{\prime}_{l}(x)-P^{\prime}_{l-1}(x) = lP_{l}(x) \end{align*} $$
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