📂상미분방정식

버금 르장드르 미분 방정식과 다항식

정의¹

아래의 미분 방정식을 버금 르장드르 미분 방정식이라 한다.

$$\begin{equation} \begin{aligned} &&(1-x^{2})\frac{ d^{2}y }{ dx^{2} }-2x \frac{dy}{dx}+\left[ +l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]y =&\ 0 \\ \mathrm{or} && \frac{ d }{ dx } \left[ (1-x^{2})y^{\prime} \right] +\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]y =&\ 0 \end{aligned} \label{1} \end{equation}$$

버금 르장드르 미분 방정식의 해를 $P_{l}^{m}(x)$와 같이 표기하고 이를 버금 르장드르 다항식^{associated Legendre polynomial} 혹은 일반화된 르장드르 다항식^{generalized Legendre polynomial}이라 한다.

$$\begin{align*} P_{l}^{m}(x)&= (1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^2-1)^{l}\right] \end{align*}$$

여기서 $P_{l}(x)$는 르장드르 다항식이다. $m$의 부호에 따라 구분하는 경우에는

$$P_{l}^{m}(x) = (1-x ^{2})^{\frac{m}{2}} \dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l+m}}{dx^{l+m}}(x^2-1)^{l}$$

$$P_{l}^{-m}=(-1)^{m}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_{l}^{m}(x)$$

버금 르장드르 다항식은 구면 좌표계의 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다. 여기서 상수 $l$, $m$은 양자역학에서 양자수와 관련이 있다.

풀이

$m=0$인 경우 르장드르 미분 방정식이다. 이 때의 해를 바탕으로 $m\ne 0$인 경우에 대해서도 해를 찾을 수 있다. 우선 버금 르장드르 미분 방정식의 해는 상수 $l$, $m$에 의해 결정되므로 다음과 같이 표기하자.

$$y=P_{l}^{m}(x)$$

이를 $\eqref{1}$에 대입하고 정리해주면 아래와 같다.

$$\begin{equation} \frac{ d }{ dx }\left[ (1-x^{2})\frac{ d P_{l}^{m}(x)}{ dx } \right]+\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right]P_{l}^{m}(x)=0 \label{2} \end{equation}$$

그리고 그 해가 아래의 형태와 같다고 가정하자.

$$P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u(x)$$

$x$에 대해서 한 번 미분하면

$$\frac{ d P_{l}^{m}(x)}{ d x }=-|m|x(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}-1}u(x)+(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u^{\prime}(x)$$

이를 $\eqref{2}$의 첫번째 항에 대입하여 정리하면 아래와 같다.

$$\begin{align*} \frac{ d }{ dx }\left[ (1-x^{2})\frac{ d P_{l}^{m}(x)}{ dx } \right] =&\ \frac{ d }{ dx }\left[ -|m|x(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u(x)+(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}+1}u^{\prime}(x) \right] \\ =&\ -|m|(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u(x)+|m|^{2}x^{2}(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}-1}u(x) \\ & -|m|x(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u^{\prime}(x)-(|m|+2)x(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u^{\prime}(x) \\ & +(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}+1}u^{\prime \prime}(x) \\ =&\ (1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}+1}u^{\prime \prime}(x)-2(|m|+1)(1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}}u^{\prime}(x) \\ & -[|m|(|m|+1)x^{2}-|m|] (1-x^{2})^{\frac{|m|}{2}-1}u(x) \end{align*}$$

양변에 $\dfrac{1}{(1-x^{2})^{|m|/2}}$를 곱하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} &\frac{1}{(1-x^{2})^{|m|/2}}\frac{ d }{ dx }\left[ (1-x^{2})\frac{ d P_{l}^{m}(x)}{ dx } \right] \\ =&\ (1-x^{2})u^{\prime \prime}(x)-2(|m|+1)xu^{\prime}(x) -[|m|(|m|+1)x^{2}-|m|] (1-x^{2})^{-1}u(x) \end{align*}$$

따라서 $\eqref{2}$의 양변에 $\dfrac{1}{(1-x^{2})^{|m|/2}}$를 곱하면

$$\begin{equation} \begin{aligned} &(1-x^{2})u^{\prime \prime}(x)-2(|m|+1)xu^{\prime}(x) \\ &-\left( \frac{|m|(|m|+1)x^{2}-|m|}{1-x^{2}}+l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right)u(x)=0 \end{aligned} \label{1} \end{equation}$$

$u(x)$의 계수를 정리하면 아래와 같다.

$$\begin{align*} &\frac{|m|(|m|+1)x^{2}-|m|}{1-x^{2}}+l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}} \\ =&\ \frac{|m|(|m|+1)x^{2}-|m|+l(l+1)(1-x^{2})-m^{2}}{1-x^{2}} \\ =&\ \frac{-m^{2}(1-x^{2})-|m|(1-x^{2})+l(l+1)(1-x^{2})}{1-x^{2}} \\ =&\ l(l+1)-m^{2}-|m| \\ =&\ l(l+1)-|m|(|m|+1) \end{align*}$$

그러므로 $\eqref{3}$은 아래와 같은 꼴로 정리된다.

$$\begin{equation} (1-x^{2})\frac{ d^{2} u }{ d x^{2} }-2(|m|+1)x\frac{ d u}{ dx }+[l(l+1)-|m|(|m|+1)]u=0 \label{4} \end{equation}$$

$m=0$이면 실제로 르장드르 미분 방정식이 된다. 따라서 $|m|=0$일 때의 해는 $P_{l}^{0}(x)=P_{l}(x)$이다. 이제 다시 $(4)$를 $x$에 대해서 미분해보자. 계수를 정리하면 아래의 식을 얻는다.

$$\begin{equation} (1-x^{2}) \frac{ d^{3} u }{ d x^{3} } -2[(|m|+1)+1]x\frac{ d^{2} u}{ dx^{2} }+[l(l+1)-(|m|+1)(|m|+2)]\frac{ d u}{ d x}=0 \label{5} \end{equation}$$

다시 $\eqref{5}$를 $x$에 대해서 미분하고 계수를 정리하면 아래의 식을 얻는다.

$$\begin{equation} (1-x^{2}) \frac{ d^{4} u }{ d x^{4} } -2[(|m|+2)+1]x\frac{ d^{3} u}{ dx^{3} }+[l(l+1)-(|m|+2)(|m|+3)]\frac{ d^{2} u}{ d x^{2}}=0 \label{6} \end{equation}$$

위 식들을 잘 살펴보면 $\eqref{4}$에서 $u$를 $\dfrac{ d u}{ d x }$로, $|m|$을 $|m|+1$로 치환했을 때 $\eqref{5}$얻을 수 있음을 알 수 있다. $\eqref{5}$에서 같은 방식으로 치환하면 $\eqref{6}$을 얻는다. 이로부터 $|m|=0$일 때의 해는 $P_{l}(x)$, $|m|=1$일 때의 해는 $\dfrac{d}{dx}P_{l}(x)$, $|m|=2$일 때의 해는 $\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}P_{l}(x)$인 것을 알 수 있다. 따라서 이를 일반화하면 다음과 같다.

$$u(x)=\frac{d^{|m|}}{dx^{{|m|}}}P_{l}(x)$$

따라서 버금 르장드르 다항식은 아래와 같다.

$$\begin{align*} P_{l}^{m}(x)&= (1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} } P_{l}(x) \\ &=(1-x ^{2})^{\frac{|m|}{2}} \frac{ d^{|m|} }{ dx^{|m|} }\left[ \dfrac{1}{2^{l} l!} \dfrac{d^{l}}{dx^{l}}(x^2-1)^{l}\right] \end{align*}$$

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