📂그래프이론

영인자 그래프

정의

가환 링 $R$ 이 주어져 있다고 하자. $R$ 의 영인자 집합을 $Z(R)$ 이라고 할 때, 다음과 같이 정의된 그래프 $\Gamma (R)$ 을 $R$ 에 대한 영인자 그래프^{zero Divisor Graph}라고 한다. $$ V \left( \Gamma (R) \right) = Z(R) \\ E( \Gamma (R)) = \left\{ ab : ab=0 \right\} $$

설명

알다시피 영인자끼리 곱한다고해서 반드시 $0$ 이 되는 것은 아니다. 예로써, $ 2, 4 \in Z \left( \mathbb{Z}_{10} \right)$ 는 $\mathbb{Z}_{10}$ 의 영인자가 맞지만 그 곱은 $8 \ne 0$ 이다. 따라서 주어지는 가환 링 $R$ 에 따른 영인자 그래프는 자명하지 않은 형태를 가지며, 이에 대한 성질이나 분류가 관심의 대상이 된다. 가령 $\mathbb{Z}_{12}$ 를 생각해보면 그 영인자 그래프 $\Gamma \left( \mathbb{Z}_{12} \right)$ 는 다음과 같이 나타난다:

역사

영인자 그래프의 역사는 그리 길지 않다. 1988년 벡^beck에 의해 처음으로 정의된 영인자 그래프는 후에 데이빗 앤더슨^{david F. Anderson} 과 필립 리빙스톤^{philip S. Livingston}에 의해 연구되었다. 앤더슨은 리빙스톤의 스승으로, 이들의 논문에서 발표된 앤더슨-리빙스톤 정리¹는 영인자 그래프의 연구에서 아주 큰 업적으로 남았다.

정수환의 영인자 그래프가 가장 직관적인 예시인만큼, 이를 확장한 환에 대해서도 연구가 이루어졌다. 요르단 대학에서 2008년 이매드 아부 오스바^{emad Abu Osba}에 의해² 가우시안 링에 대한 영인자 그래프 $\Gamma \left( \mathbb{Z}[i] \right)$ 의 분류가, 2014년 오사마 알캄^{osama Alkam}에 의해³ 아이젠슈타인 링에 대한 영인자 그래프 $\Gamma ( \mathbb{Z} [ \omega] )$ 의 분류가 알려졌다.