오일러 미분 방정식의 풀이
정의
다음과 같은 꼴의 미분 방정식을 오일러 미분 방정식 혹은 오일러-코시 방정식이라 한다.
$$ \begin{equation} a_{2}x^{2}\frac{ d ^{2 }y}{ dx^{2} }+a_{1}x\frac{ d y}{ d x }+a_{0}y=0 \end{equation} $$
설명
우변이 $0$이 아닌 비동차 방정일 경우에는 $x=e^{z}$로 치환해서 풀면 된다.
풀이
계산의 편의를 위해 $(1)$의 양 변을 $a_{2}$로 나누고 나머지 두 항의 계수를 다시 $a_{1}$, $a_{0}$라고 하자. 그러면
$$ x^{2}\frac{ d ^{2 }y}{ dx^{2} } + a_{1}x\frac{ d y}{ d x } + a_{0}y = 0 $$
미분 방정식을 잘 보면 두번미분하고 2차항을 곱한 항과 1번 미분하고 1차항을 곱한 항과 원래 함수를 더해서 $0$이된다. 따라서 해를 다음과 같다고 둘 수 있다.
$$ y=x^{r} $$
미분 방정식에 대입하면
$$ \begin{align*} r(r-1)x^{r}+a_{1}rx^{r}+a_{0}x^{r}=0 \\ [r(r-1)+a_{1}r+a_{0}]x^{r}=0 \\ [r^{2}-(a_{1}-1)r+a_{0}]x^{r}=0 \end{align*} $$
$x^{r}\ne0$이므로 $r^{2}-(a_{1}-1)r+a_{0}=0$이다. 이는 간단한 2차 방정식으로 그 해는
$$ r=\frac{-(a_{1}-1)\pm \sqrt{(a_{1}-1)^{2}-4a_{0}}}{2} $$
두 해를 각각 $r_{1}$, $r_{2}$라고 하자. 두 근의 상태에 따라서 미분 방정식의 해가 달라진다.
Case 1. $r_{1}$, $r_{2}$가 서로 다른 실수
방정식의 두 해는 $y_{1}=x^{r_{1}}$과 $y_{2}=x^{r_{2}}$이다. 론스키안을 확인해보면
$$ W[y_{1},y_{2}]=(r_{2}-r_{1})x^{r_{1}+r_{2}-1} $$
$r_{1}\ne r_{2}$이므로 $x>0$일 때 반드시 $W[x^{1},r^{2}]\ne 0$임을 알 수 있다. 따라서 두 해는 기본해집합을 이루므로 일반해는
$$ y=c_{1}x^{r_{1}}+c_{2}x^{r_{2}},\quad x>0 $$
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Case 2. $r_{1}$, $r_{2}$가 서로 같은 실수
위 경우에서 $y_{1}$, $y_{2}$이므로 세컨드 솔루션을 찾아야한다. 첫번째 해를 $y_{1}=x^{r_{1}}$이라 하고 미분 연산자 $L$을 아래와 같다고 하자.
$$ L[y]=x^{2}y^{\prime \prime}+xy^{\prime}+y $$
그러면
$$ L[x^{r}]=[r^{2}-(a_{1}-1)r+a_{0}]x^{r}=0 $$
이때 $r$에 대한 2차 방정식이 중근을 가지는 경우이므로 아래와 같이 완전제곱꼴로 표현할 수 있다.
$$ L[x^{r}]=(r-r_{1})^{2}x^{r}=0 $$
$0$을 미분하면 $0$이므로 양변을 $r$로 미분하면
$$ \frac{ \partial }{ \partial r}L[x^{r}]=0 $$
이고 $x$와 $r$의 미분 순서를 바꿔도 상관 없으므로
$$ \frac{ \partial }{ \partial r }L[x^{r}]=L\left[ \frac{ \partial x^{r}}{ \partial r }\right]=L[x^{r}\ln x]=0 $$
따라서 $y_{2}=x^{r_{1}}\ln x$가 두번째 해이다. 론스키안을 계산해보면 $W[x^{r_{1}},x^{1}\ln x]=x^{2r_{1}-1}\ne 0$이므로 두 해는 기본해집합을 이룬다. 따라서 일반해는
$$ y=c_{1}x^{r_{1}}+c_{2}x^{r_{1}}\ln x,\quad x>0 $$
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Case 3. $r_{1}$, $r_{2}$가 서로 다른 복소수
$r_{1}=\lambda+i\mu$, $r_{2}=\lambda -i\mu$라고 하자. 그러면 두 해는
$$ y_{1}=x^{\lambda+i\mu},\quad y_{2}=x^{\lambda-i\mu} $$
따라서 기본해는
$$ y=c_{1}x^{\lambda+i\mu}+c_{2}x^{\lambda-i\mu} $$
하지만 복소함수의 경우 삼각함수로 표현하는 것이 일반적이다. 오일러 공식에 의해서 아래의 식이 성립한다.
$$ \begin{align*} x^{\lambda +i \mu}=x^{\lambda}x^{i\mu}=x^{\lambda} e^{\ln x^{i\mu}} =&\ x^{\lambda}e^{i\mu \ln x} \\ =&\ x^{\lambda}[\cos(\mu \ln x)+i\sin (\mu \ln x) ] ,\quad x>0 \end{align*} $$
따라서 일반해는 복소수 상수 $c_{1}$, $c_{2}$에 대해서 다음과 같이 표현된다.
$$ y=c_{1}x^{\lambda}\cos (\mu \ln x)+c_{2}x^{\lambda}\sin(\mu \ln x),\quad x>0 $$
$\cos$과 $\sin$은 독립적이므로 론스키안은 계산해보지 않아도 반드시 $0$이 되지 않음을 알 수 있다. 굳이 계산해보면
$$ W[x^{\lambda}\cos (\mu \ln x),x^{\lambda}\sin(\mu \ln x)]=\mu x^{2\lambda-1}\ne 0
$$
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