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슈뢰딩거 방정식의 유도 📂양자역학

슈뢰딩거 방정식의 유도

개요

  • 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식time independent Schrodinger equation

Hψ=(−ℏ22md2dx2+V)ψ=EψHψ=(−ℏ22m∇2+V)ψ=Eψ H\psi=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2} }{ d x^{2} }+V\right)\psi=E\psi \\ H\psi=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi=E\psi

  • 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식time dependent Schrodinger equation

iℏ∂ψ∂t=(−ℏ22m∂2∂x2+V)ψiℏ∂ψ∂t=(−ℏ22m∇2+V)ψ i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial ^{2} }{\partial x^{2} }+V\right)\psi \\ i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi

슈뢰딩거 방정식이란 복소 파동함수의 에너지, 위치, 시간에 관련된 편미분 방정식을 말한다. 쉽게 말하자면 고전 역학에서

F=ma F=ma

와 같은 것이다. 이를 이용해서 여러 퍼텐셜 상황에서의 파동함수와 파동함수의 에너지를 계산할 수 있다. 우선 파수가 kk이고 각진동수가 ω\omega인 시간과 위치에 대한 1차원 파동함수는 아래와 같다.

ψ(x,t)=ei(kx−ωt)(1) \psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)} \tag{1}

식을 간단히 하기 위해서 앞의 상수는 생략하였다. 드브로이 관계식은 아래와 같다.

λ=hp \lambda=\frac{h}{p}

k=pℏ(2) k=\frac{p}{\hbar} \tag{2}

플랑크의 흑체복사와 아인슈타인의 광전효과에서 아래의 관계식을 얻는다.

E=hν=ℏω(3) E=h\nu=\hbar \omega \tag{3}

ν=ω2π\nu=\frac{\omega}{2\pi}는 입자의 진동수이다. 양자역학은 파동함수와 연산자, 고유값 방정식을 통해 기술되므로 이를 이용해서 슈뢰딩거 방정식을 유도하겠다.

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식

고유함수를 파동함수 ψ\psi로 갖고, 고유값을 ψ\psi의 에너지 EE로 가지는 에너지 연산자 EopE_{op}를 얻는 것이 목적이다. 입자의 에너지는 운동에너지+퍼텐셜에너지이므로

E=p22m+V E=\frac{p^{2}}{2m}+V

드브로이 관계식 (2)(2)에 의해 p=kℏp=k\hbar이므로

E=ℏ2k22m+V E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}+V

양변에 파동함수 ψ\psi를 곱하면

ℏ2k22mψ+Vψ=Eψ(4) \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\psi+V\psi=E\psi \tag{4}

이때 파동함수가 (1)(1)이므로

d2ψdx2=−k2ψ  ⟹  −ℏ22md2ψdx2=ℏ2k22mψ \frac{d^{2}\psi }{dx^{2} }=-k^{2}\psi\quad \implies\quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi }{dx^{2} }=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\psi

이고 따라서 (4)(4)는

−ℏ22md2ψdx2+Vψ=Eψ  ⟹  (−ℏ22md2dx2+V)ψ=Eψ \begin{align*} &&-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2}\psi}{ dx^{2} }+V\psi=E\psi \\ \implies &&\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2}}{ dx^{2} }+V\right)\psi=E\psi \end{align*}

위 식을 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이라 부른다. 또한 에너지를 얻는 에너지 연산자

−ℏ22md2dx2+V=H -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2}}{ dx^{2} }+V=H

를 간단히 HH라고 표기하고 해밀토니안이라 한다. 3차원일 경우 해밀토니안과 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

H=−ℏ22m∇2+V H=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V

(−ℏ22m∇2+V)ψ=Eψ(5) \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi=E\psi \tag{5}

HH를 사용하여 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 간단히 표현하면

Hψ=Eψ H\psi=E\psi

시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식

(3)(3)에 의하면 입자의 에너지는 각진동수 ω\omega와 플랑크 상수 ℏ\hbar로 표현된다. 각진동수는 파동함수 (1)(1)을 시간에 대해서 미분했을 때 얻을 수 있다. ∂ψ∂t=−iωψ \frac{ \partial \psi}{ \partial t }=-i\omega\psi 따라서 Eψ=ℏωψ=iℏ∂ψ∂t E\psi=\hbar \omega \psi=i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t } 이를 (5)(5)에 대입하면 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 얻는다. iℏ∂ψ∂t=(−ℏ22m∂2∂x2+V)ψiℏ∂ψ∂t=(−ℏ22m∇2+V)ψ i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial ^{2} }{ \partial x^{2} }+V\right)\psi \\ i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi