슈뢰딩거 방정식의 유도
개요
- 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식time independent Schrodinger equation
$$ H\psi=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2} }{ d x^{2} }+V\right)\psi=E\psi \\ H\psi=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi=E\psi $$
- 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식time dependent Schrodinger equation
$$ i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial ^{2} }{\partial x^{2} }+V\right)\psi \\ i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi $$
슈뢰딩거 방정식이란 복소 파동함수의 에너지, 위치, 시간에 관련된 편미분 방정식을 말한다. 쉽게 말하자면 고전 역학에서
$$ F=ma $$
와 같은 것이다. 이를 이용해서 여러 퍼텐셜 상황에서의 파동함수와 파동함수의 에너지를 계산할 수 있다. 우선 파수가 $k$이고 각진동수가 $\omega$인 시간과 위치에 대한 1차원 파동함수는 아래와 같다.
$$ \psi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)} \tag{1} $$
식을 간단히 하기 위해서 앞의 상수는 생략하였다. 드브로이 관계식은 아래와 같다.
$$ \lambda=\frac{h}{p} $$
$$ k=\frac{p}{\hbar} \tag{2} $$
플랑크의 흑체복사와 아인슈타인의 광전효과에서 아래의 관계식을 얻는다.
$$ E=h\nu=\hbar \omega \tag{3} $$
$\nu=\frac{\omega}{2\pi}$는 입자의 진동수이다. 양자역학은 파동함수와 연산자, 고유값 방정식을 통해 기술되므로 이를 이용해서 슈뢰딩거 방정식을 유도하겠다.
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식
고유함수를 파동함수 $\psi$로 갖고, 고유값을 $\psi$의 에너지 $E$로 가지는 에너지 연산자 $E_{op}$를 얻는 것이 목적이다. 입자의 에너지는 운동에너지+퍼텐셜에너지이므로
$$ E=\frac{p^{2}}{2m}+V $$
드브로이 관계식 $(2)$에 의해 $p=k\hbar$이므로
$$ E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}+V $$
양변에 파동함수 $\psi$를 곱하면
$$ \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\psi+V\psi=E\psi \tag{4} $$
이때 파동함수가 $(1)$이므로
$$ \frac{d^{2}\psi }{dx^{2} }=-k^{2}\psi\quad \implies\quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi }{dx^{2} }=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\psi $$
이고 따라서 $(4)$는
$$ \begin{align*} &&-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2}\psi}{ dx^{2} }+V\psi=E\psi \\ \implies &&\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2}}{ dx^{2} }+V\right)\psi=E\psi \end{align*} $$
위 식을 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이라 부른다. 또한 에너지를 얻는 에너지 연산자
$$ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ d ^{2}}{ dx^{2} }+V=H $$
를 간단히 $H$라고 표기하고 해밀토니안이라 한다. 3차원일 경우 해밀토니안과 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ H=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V $$
$$ \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi=E\psi \tag{5} $$
$H$를 사용하여 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 간단히 표현하면
$$ H\psi=E\psi $$
시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식
$(3)$에 의하면 입자의 에너지는 각진동수 $\omega$와 플랑크 상수 $\hbar$로 표현된다. 각진동수는 파동함수 $(1)$을 시간에 대해서 미분했을 때 얻을 수 있다. $$ \frac{ \partial \psi}{ \partial t }=-i\omega\psi $$ 따라서 $$ E\psi=\hbar \omega \psi=i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t } $$ 이를 $(5)$에 대입하면 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식을 얻는다. $$ i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial ^{2} }{ \partial x^{2} }+V\right)\psi \\ i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t}=\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi $$