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힐베르트 공간의 정규직교 기저와 유니터리 작용소 📂힐베르트공간

힐베르트 공간의 정규직교 기저와 유니터리 작용소

정의

힐베르트공간 HH 의 샤우더 기저 {ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 가 정규직교 시스템이면, {ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 를 HH 의 정규직교 기저orthonormal Basis라 한다.

정리1

정규직교기저의 동치조건

  • [1]: HH 가 힐베르트공간이라고 하자. HH 의 정규직교 시스템 {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 에 대해 다음은 모두 동치다.
    • (i): {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 는 HH 의 정규직교 기저다.
    • (ii): 모든 x∈H\mathbf{x}\in H 에 대해 x=∑k∈N⟨x,ek⟩ek \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k}
    • (iii): 모든 x,y∈H\mathbf{x}, \mathbf{y} \in H 에 대해 ⟨x,y⟩=∑k∈N⟨x,ek⟩⟨ek,y⟩ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \langle \mathbf{e}_{k} , \mathbf{y} \rangle
    • (iv): 모든 x∈H\mathbf{x}\in H 에 대해 ∑k∈N∣⟨x,ek⟩∣2=∥x∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2}
    • (v): span‾{ek}k∈N=H\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H
    • (vi): x∈H\mathbf{x}\in H 이고 모든 k∈Nk \in \mathbb{N} 에 대해 ⟨x,ek⟩=0\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle = 0 이면 x=0\mathbf{x}= \mathbf{0}

유니터리 작용소와 정규직교기저

  • [2]: {ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 을 HH 의 정규직교기저라고 하자. 그러면 HH 의 정규직교 기저는 유니터리 작용소 U:H→HU : H \to H 에 대해 정확하게 {Uek}k∈N\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 과 같이 나타난다.

설명

특히 정리 [2]과 같은 결과를 두고 HH 의 모든 정규직교 기저가 유니터리 작용소 UU 에 의해 캐릭터라이제이션characterization된다고 말한다.

증명

[1]의 증명은 레퍼런스를 참고하라.

[2]

{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 도 HH 의 정규직교 기저라고 하자. 작용소 U:H→HU : H \to H 를 다음과 같이 정의하자. U(∑k∈Nckek):=∑k∈Nckvk,∀ckk∈N∈l2 U \left( \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{e}_{k} \right) := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k} \qquad , \forall {c_{k}}_{k \in \mathbb{N}} \in l^{2} 그러면 UU 는 유계인 전단사면서 vk=Uek\mathbf{v}_{k} = U \mathbf{e}_{k} 다.

정규직교기저의 동치조건: HH 가 힐베르트공간이라고 하자. HH 의 정규직교 시스템 {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 에 대해 다음은 모두 동치다.

  • (i): {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 는 HH 의 정규직교 기저다.
  • (ii): 모든 x∈H\mathbf{x}\in H 에 대해 x=∑k∈N⟨x,ek⟩ek \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k}
  • (iii): 모든 x,y∈H\mathbf{x}, \mathbf{y} \in H 에 대해 ⟨x,y⟩=∑k∈N⟨x,ek⟩⟨ek,y⟩ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \langle \mathbf{e}_{k} , \mathbf{y} \rangle
  • (vi): x∈H\mathbf{x}\in H 이고 모든 k∈Nk \in \mathbb{N} 에 대해 ⟨x,ek⟩=0\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle = 0 이면 x=0\mathbf{x}= \mathbf{0}

{ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 는 HH 의 정규직교 기저이므로 (i)   ⟹  \implies (ii) 에 따라 v,w∈H\mathbf{v} ,\mathbf{w} \in H 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

v=∑k∈N⟨v,ek⟩ekw=∑k∈N⟨w,ek⟩ek \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \\ \mathbf{w} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k}

그러면 UU의 정의와 (i)   ⟹  \implies (iii) 에 따라

⟨U∗Uv,w⟩=⟨Uv,Uw⟩=⟨∑k∈N⟨v,ek⟩ek,∑k∈N⟨w,ek⟩ek⟩=∑k∈N⟨v,ek⟩⟨w,ek⟩‾=⟨v,w⟩ \begin{align*} \left\langle U^{ \ast } U \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle =& \left\langle U \mathbf{v} , U \mathbf{w} \right\rangle \\ =& \left\langle \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} , \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \right\rangle \\ =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \overline{\left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle} \\ =& \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle \end{align*}

다시 말해 U∗U=IU^{ \ast } U = I 이므로 UU 는 유니터리 작용소고, 전단사으로 역작용소 U−1=U∗U^{-1} = U^{ \ast } 가 존재한다. 한편, {Uek}k∈N⊂H\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 는 UU 가 유니터리라는 가정에서

⟨Uei,Uej⟩=⟨U∗Uei,ej⟩=⟨ei,ej⟩=δij \left\langle U \mathbf{e}_{i} , U \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \left\langle U^{ \ast } U \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \delta_{ij}

즉, {Uek}k∈N\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 는 정규직교 집합이다. 이것이 HH 의 기저가 됨을 보이기 위해 모든 k∈Nk \in \mathbb{N} 에 대해 ⟨v,Uek⟩=0\left\langle \mathbf{v} , U \mathbf{e}_{k} \right\rangle = 0 라고 가정해보자. 그러면 모든 k∈Nk \in \mathbb{N} 에 대해 ⟨U∗v,ek⟩=0\left\langle U^{ \ast } \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle = 0 이므로 U∗v=0U^{ \ast } \mathbf{v} = \mathbf{0} 이어야한다. 앞서 U∗=U−1U^{ \ast } = U^{-1} 임은 보였으므로, 양변에 UU 를 취하면 v=0\mathbf{v} = \mathbf{0} 을 얻는다. 결과적으로, (vi)   ⟹  \implies (i) 에 따라 {Uek}k∈N⊂H\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 가 HH 의 정규직교 기저가 됨을 확인할 수 있다.

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  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p80-83 ↩︎