📂힐베르트공간

힐베르트 공간의 정규직교 기저와 유니터리 작용소

정의

힐베르트공간 $H$ 의 샤우더 기저 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 가 정규직교 시스템이면, $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 를 $H$ 의 정규직교 기저^{orthonormal Basis}라 한다.

정리¹

정규직교기저의 동치조건

• [1]: $H$ 가 힐베르트공간이라고 하자. $H$ 의 정규직교 시스템 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 에 대해 다음은 모두 동치다.
  • (i): $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 는 $H$ 의 정규직교 기저다.
  • (ii): 모든 $\mathbf{x}\in H$ 에 대해 $$ \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k} $$
  • (iii): 모든 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in H$ 에 대해 $$ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \langle \mathbf{e}_{k} , \mathbf{y} \rangle $$
  • (iv): 모든 $\mathbf{x}\in H$ 에 대해 $$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2} $$
  • (v): $\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H$
  • (vi): $\mathbf{x}\in H$ 이고 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle = 0$ 이면 $\mathbf{x}= \mathbf{0}$

유니터리 작용소와 정규직교기저

• [2]: $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 을 $H$ 의 정규직교기저라고 하자. 그러면 $H$ 의 정규직교 기저는 유니터리 작용소 $U : H \to H$ 에 대해 정확하게 $\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 과 같이 나타난다.

설명

특히 정리 [2]과 같은 결과를 두고 $H$ 의 모든 정규직교 기저가 유니터리 작용소 $U$ 에 의해 캐릭터라이제이션^{characterization}된다고 말한다.

증명

[1]의 증명은 레퍼런스를 참고하라.

[2]

$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 도 $H$ 의 정규직교 기저라고 하자. 작용소 $U : H \to H$ 를 다음과 같이 정의하자. $$ U \left( \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{e}_{k} \right) := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k} \qquad , \forall {c_{k}}_{k \in \mathbb{N}} \in l^{2} $$ 그러면 $U$ 는 유계인 전단사면서 $\mathbf{v}_{k} = U \mathbf{e}_{k}$ 다.

정규직교기저의 동치조건: $H$ 가 힐베르트공간이라고 하자. $H$ 의 정규직교 시스템 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 에 대해 다음은 모두 동치다.

• (i): $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 는 $H$ 의 정규직교 기저다.
• (ii): 모든 $\mathbf{x}\in H$ 에 대해 $$ \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k} $$
• (iii): 모든 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in H$ 에 대해 $$ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \langle \mathbf{e}_{k} , \mathbf{y} \rangle $$
• (vi): $\mathbf{x}\in H$ 이고 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle = 0$ 이면 $\mathbf{x}= \mathbf{0}$

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 는 $H$ 의 정규직교 기저이므로 (i) $\implies$ (ii) 에 따라 $\mathbf{v} ,\mathbf{w} \in H$ 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \\ \mathbf{w} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} $$

그러면 $U$의 정의와 (i) $\implies$ (iii) 에 따라

$$ \begin{align*} \left\langle U^{ \ast } U \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle =& \left\langle U \mathbf{v} , U \mathbf{w} \right\rangle \\ =& \left\langle \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} , \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \right\rangle \\ =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \overline{\left\langle \mathbf{w} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle} \\ =& \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w} \right\rangle \end{align*} $$

다시 말해 $U^{ \ast } U = I$ 이므로 $U$ 는 유니터리 작용소고, 전단사으로 역작용소 $U^{-1} = U^{ \ast }$ 가 존재한다. 한편, $\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 는 $U$ 가 유니터리라는 가정에서

$$ \left\langle U \mathbf{e}_{i} , U \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \left\langle U^{ \ast } U \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \delta_{ij} $$

즉, $\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 는 정규직교 집합이다. 이것이 $H$ 의 기저가 됨을 보이기 위해 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\left\langle \mathbf{v} , U \mathbf{e}_{k} \right\rangle = 0$ 라고 가정해보자. 그러면 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\left\langle U^{ \ast } \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle = 0$ 이므로 $U^{ \ast } \mathbf{v} = \mathbf{0}$ 이어야한다. 앞서 $U^{ \ast } = U^{-1}$ 임은 보였으므로, 양변에 $U$ 를 취하면 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 을 얻는다. 결과적으로, (vi) $\implies$ (i) 에 따라 $\left\{ U \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 가 $H$ 의 정규직교 기저가 됨을 확인할 수 있다.

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