📂힐베르트공간

가분 힐베르트 공간은 l2 공간과 등거리동형임을 증명

정리¹

모든 무한차원 가분 힐베르트 공간 $H$는 $\ell^{2}$와 등거리 동형이다.

설명

가분성을 가지는 힐베르트 공간이 $\ell^{2}$와 등거리 동형이라는 말은 사실상 힐베르트 공간을 연구할 때 $\ell^{2}$만 연구하면 된다는 말이나 진배 없다.

증명

가분 힐베르트 공간의 그램-슈미트 정규직교화

모든 가분 힐베르트 공간은 정규직교기저를 가진다.

베셀 부등식의 보조정리

$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$이 힐베르트 공간 $H$의 정규직교 집합이라고 하면 다음이 성립한다.

모든 $\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}$에 대해 무한 급수 $\sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k}$는 수렴한다.

힐베르트 공간 $H$는 그램-슈미트 정규직교화에 따라 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 을 가지며, 위 보조정리에 따라 $\sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{e}_{k}$는 모든 $\left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2}$에 대해 수렴성이 보장된다. 이제 $\left\{ \delta_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 를 $\ell^{2}$의 정규직교기저라고 하고 작용소 $U : H \to \ell^{2}$를 다음과 같이 정의하자.

$$ U \left( \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{e}_{k} \right) := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \delta_{k} $$

그러면 $U$는 $H$와 $\ell^{2}$사이의 전단사다.

정규직교기저의 동치조건: $H$ 가 힐베르트공간이라고 하자. $H$ 의 정규직교 시스템 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 에 대해 다음은 모두 동치다.

• (i): $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 는 $H$ 의 정규직교 기저다.
• (ii): 모든 $\mathbf{x}\in H$ 에 대해 $$ \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k} $$
• (iv): 모든 $\mathbf{x}\in H$ 에 대해 $$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2} $$

모든 $\mathbf{v} \in H$ 는 정규직교기저 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 에 대해 다음과 같이 유일한 전개를 가진다.

$$ \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} $$

따라서

$$ \begin{align*} \left\| U \mathbf{v} \right\|^{2} =& \left\| \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \delta_{k} \right\|^{2} \\ =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right|^{2} \\ =& \left\| \mathbf{v} \right\|^{2} \end{align*} $$

이고, $U : H \to \ell^{2}$ 는 등거리동형사상이 된다.

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