가분 힐베르트 공간은 l2 공간과 등거리동형임을 증명
📂힐베르트공간 가분 힐베르트 공간은 l2 공간과 등거리동형임을 증명 정리 모든 무한차원 가분 힐베르트 공간 H H H ℓ 2 \ell^{2} ℓ 2 등거리 동형 이다.
설명 가분성을 가지는 힐베르트 공간이 ℓ 2 \ell^{2} ℓ 2 ℓ 2 \ell^{2} ℓ 2
증명 가분 힐베르트 공간의 그램-슈미트 정규직교화
모든 가분 힐베르트 공간은 정규직교기저를 가진다.
베셀 부등식의 보조정리
{ v k } k ∈ N \left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} { v k } k ∈ N H H H
모든 { c k } k ∈ N ∈ ℓ 2 \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2} { c k } k ∈ N ∈ ℓ 2 ∑ k ∈ N c k v k \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{v}_{k} ∑ k ∈ N c k v k
힐베르트 공간 H H H { e k } k ∈ N \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} { e k } k ∈ N ∑ k ∈ N c k e k \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{e}_{k} ∑ k ∈ N c k e k { c k } k ∈ N ∈ ℓ 2 \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \in \ell^{2} { c k } k ∈ N ∈ ℓ 2 { δ k } k ∈ N \left\{ \delta_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} { δ k } k ∈ N ℓ 2 \ell^{2} ℓ 2 작용소 U : H → ℓ 2 U : H \to \ell^{2} U : H → ℓ 2
U ( ∑ k ∈ N c k e k ) : = ∑ k ∈ N c k δ k
U \left( \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \mathbf{e}_{k} \right) := \sum_{k \in \mathbb{N}} c_{k} \delta_{k}
U ( k ∈ N ∑ c k e k ) := k ∈ N ∑ c k δ k
그러면 U U U H H H ℓ 2 \ell^{2} ℓ 2
정규직교기저의 동치조건 : H H H 힐베르트공간 이라고 하자. H H H 정규직교 시스템 { e k } k ∈ N ⊂ H \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H { e k } k ∈ N ⊂ H 동치 다.
(i): { e k } k ∈ N ⊂ H \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H { e k } k ∈ N ⊂ H H H H 정규직교 기저 다. (ii): 모든 x ∈ H \mathbf{x}\in H x ∈ H x = ∑ k ∈ N ⟨ x , e k ⟩ e k
\mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k}
x = k ∈ N ∑ ⟨ x , e k ⟩ e k (iv): 모든 x ∈ H \mathbf{x}\in H x ∈ H ∑ k ∈ N ∣ ⟨ x , e k ⟩ ∣ 2 = ∥ x ∥ 2
\sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2}
k ∈ N ∑ ∣ ⟨ x , e k ⟩ ∣ 2 = ∥ x ∥ 2 모든 v ∈ H \mathbf{v} \in H v ∈ H { e k } k ∈ N \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} { e k } k ∈ N
v = ∑ k ∈ N ⟨ v , e k ⟩ e k
\mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k}
v = k ∈ N ∑ ⟨ v , e k ⟩ e k
따라서
∥ U v ∥ 2 = ∥ ∑ k ∈ N ⟨ v , e k ⟩ δ k ∥ 2 = ∑ k ∈ N ∣ ⟨ v , e k ⟩ ∣ 2 = ∥ v ∥ 2
\begin{align*}
\left\| U \mathbf{v} \right\|^{2} =& \left\| \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \delta_{k} \right\|^{2}
\\ =& \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right|^{2}
\\ =& \left\| \mathbf{v} \right\|^{2}
\end{align*}
∥ U v ∥ 2 = = = k ∈ N ∑ ⟨ v , e k ⟩ δ k 2 k ∈ N ∑ ∣ ⟨ v , e k ⟩ ∣ 2 ∥ v ∥ 2
이고, U : H → ℓ 2 U : H \to \ell^{2} U : H → ℓ 2
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