📂힐베르트공간

가분 힐베르트 공간의 그램-슈미트 정규직교화

정리¹

모든 가분 힐베르트 공간은 정규직교 기저를 가진다.

증명

전략: 유한차원 벡터 공간에서의 그램-슈미트 정규직교화와 본질적으로 같다. 일반적인 힐베르트 공간은 유한차원 벡터 공간과 달리 기저의 존재성이 보장되지 않으므로 가분성에 따라 정규직교화를 거치기 전의 직교 기저인 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 를 잡아주어야한다.

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$$ \overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H $$

힐베르트 공간 $H$이 가분 공간이라고 하면 위를 만족하는 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$가 존재한다. 이에 대해 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{n}$ 을 다음과 같이 정의하자.

$$ \begin{align*} \mathbf{e}_{1} :=& {{ \mathbf{v}_{1} } \over { \left\| \mathbf{v}_{1} \right\| }} \\ \mathbf{e}_{2} :=& {{ \mathbf{v}_{2} - \left\langle \mathbf{v}_{2} , \mathbf{e}_{1} \right\rangle \mathbf{e}_{1} } \over { \left\| \mathbf{v}_{2} - \left\langle \mathbf{v}_{2} , \mathbf{e}_{1} \right\rangle \mathbf{e}_{1} \right\| }} \\ \mathbf{e}_{n+1} :=& {{ \mathbf{v}_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} \left\langle \mathbf{v}_{n+1} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} } \over { \left\| \mathbf{v}_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} \left\langle \mathbf{v}_{n+1} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \right\| }} \end{align*} $$

$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$는 $H$의 직교기저이므로 $\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \delta_{ij}$ 고, 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$ \text{span} \left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k = 1}^{n} = \text{span} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k =1}^{n} $$

따라서

$$ \overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k = 1}^{\infty} = \overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k =1}^{\infty} = H $$

정규직교기저의 동치조건: $H$ 가 힐베르트공간이라고 하자. $H$ 의 정규직교 시스템 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 에 대해 다음은 모두 동치다.

• (i): $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 는 $H$ 의 정규직교 기저다.
• (v): $\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H$

$\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H$ 이므로 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 는 $H$ 의 기저고, 특히 $\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \delta_{ij}$ 이므로 정규직교기저다.

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