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가분 힐베르트 공간의 그램-슈미트 정규직교화 📂힐베르트공간

가분 힐베르트 공간의 그램-슈미트 정규직교화

정리1

모든 가분 힐베르트 공간은 정규직교 기저를 가진다.

증명

전략: 유한차원 벡터 공간에서의 그램-슈미트 정규직교화와 본질적으로 같다. 일반적인 힐베르트 공간은 유한차원 벡터 공간과 달리 기저의 존재성이 보장되지 않으므로 가분성에 따라 정규직교화를 거치기 전의 직교 기저인 {vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 를 잡아주어야한다.

span‾{vk}k∈N=H \overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H

힐베르트 공간 HH이 가분 공간이라고 하면 위를 만족하는 {vk}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H가 존재한다. 이에 대해 {ek}k=1n\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{n} 을 다음과 같이 정의하자.

e1:=v1∥v1∥e2:=v2−⟨v2,e1⟩e1∥v2−⟨v2,e1⟩e1∥en+1:=vn+1−∑k=1n⟨vn+1,ek⟩ek∥vn+1−∑k=1n⟨vn+1,ek⟩ek∥ \begin{align*} \mathbf{e}_{1} :=& {{ \mathbf{v}_{1} } \over { \left\| \mathbf{v}_{1} \right\| }} \\ \mathbf{e}_{2} :=& {{ \mathbf{v}_{2} - \left\langle \mathbf{v}_{2} , \mathbf{e}_{1} \right\rangle \mathbf{e}_{1} } \over { \left\| \mathbf{v}_{2} - \left\langle \mathbf{v}_{2} , \mathbf{e}_{1} \right\rangle \mathbf{e}_{1} \right\| }} \\ \mathbf{e}_{n+1} :=& {{ \mathbf{v}_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} \left\langle \mathbf{v}_{n+1} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} } \over { \left\| \mathbf{v}_{n+1} - \sum_{k=1}^{n} \left\langle \mathbf{v}_{n+1} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \right\| }} \end{align*}

{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}는 HH의 직교기저이므로 ⟨ei,ej⟩=δij\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \delta_{ij} 고, 모든 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해 다음이 성립한다.

span{vk}k=1n=span{ek}k=1n \text{span} \left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k = 1}^{n} = \text{span} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k =1}^{n}

따라서

span‾{ek}k=1∞=span‾{vk}k=1∞=H \overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k = 1}^{\infty} = \overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k =1}^{\infty} = H

정규직교기저의 동치조건: HH 가 힐베르트공간이라고 하자. HH 의 정규직교 시스템 {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 에 대해 다음은 모두 동치다.

  • (i): {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 는 HH 의 정규직교 기저다.
  • (v): span‾{ek}k∈N=H\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H

span‾{ek}k∈N=H\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H 이므로 {ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 는 HH 의 기저고, 특히 ⟨ei,ej⟩=δij\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = \delta_{ij} 이므로 정규직교기저다.

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  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p82 ↩︎