📂바나흐공간

무한 차원 벡터 공간의 샤우더 베이시스

정의¹

$(X, \left\| \cdot \right\|)$를 놈 공간이라고 하자. $X$의 모든 원소 $\mathbf{x}\in X$ 에 대해 다음을 만족하는 스칼라의 시퀀스 $\left\{ a_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 가 유일하게 존재하면 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset X$ 를 $X$ 의 샤우더 기저^{schauder basis} 라 한다.

$$ \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} a_{k} \mathbf{e}_{k} $$

설명

벡터 공간의 기저는 특히 ‘무한’ 선형 결합에 대해 논할 때 샤우더 기저라고 불리운다. 무한에 대해 말하는만큼 바나흐 공간과 관련된 성질이 많으며, 특히 힐베르트 공간에 대해서는 아래와 같이 유용한 정리가 알려져있다.

정규직교기저의 동치조건: $H$ 가 힐베르트공간이라고 하자. $H$ 의 정규직교 시스템 $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 에 대해 다음은 모두 동치다.

• (i): $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H$ 는 $H$ 의 정규직교 기저다.
• (ii): 모든 $\mathbf{x}\in H$ 에 대해 $$ \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k} $$
• (iii): 모든 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in H$ 에 대해 $$ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \langle \mathbf{e}_{k} , \mathbf{y} \rangle $$
• (iv): 모든 $\mathbf{x}\in H$ 에 대해 $$ \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2} $$
• (v): $\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H$
• (vi): $\mathbf{x}\in H$ 이고 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle = 0$ 이면 $\mathbf{x}= \mathbf{0}$

같이보기

• 유한 차원 벡터 공간의 기저 : 하멜 베이시스