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무한 차원 벡터 공간의 샤우더 베이시스 📂바나흐공간

무한 차원 벡터 공간의 샤우더 베이시스

정의1

(X,∥⋅∥)(X, \left\| \cdot \right\|)를 놈 공간이라고 하자. XX의 모든 원소 x∈X\mathbf{x}\in X 에 대해 다음을 만족하는 스칼라의 시퀀스 {ak}k∈N\left\{ a_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 가 유일하게 존재하면 {ek}k∈N⊂X\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset X 를 XX 의 샤우더 기저schauder basis 라 한다.

x=∑k∈Nakek \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} a_{k} \mathbf{e}_{k}

설명

벡터 공간의 기저는 특히 ‘무한’ 선형 결합에 대해 논할 때 샤우더 기저라고 불리운다. 무한에 대해 말하는만큼 바나흐 공간과 관련된 성질이 많으며, 특히 힐베르트 공간에 대해서는 아래와 같이 유용한 정리가 알려져있다.

정규직교기저의 동치조건: HH 가 힐베르트공간이라고 하자. HH 의 정규직교 시스템 {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 에 대해 다음은 모두 동치다.

  • (i): {ek}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 는 HH 의 정규직교 기저다.
  • (ii): 모든 x∈H\mathbf{x}\in H 에 대해 x=∑k∈N⟨x,ek⟩ek \mathbf{x}= \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \mathbf{e}_{k}
  • (iii): 모든 x,y∈H\mathbf{x}, \mathbf{y} \in H 에 대해 ⟨x,y⟩=∑k∈N⟨x,ek⟩⟨ek,y⟩ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{k \in \mathbb{N}} \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \langle \mathbf{e}_{k} , \mathbf{y} \rangle
  • (iv): 모든 x∈H\mathbf{x}\in H 에 대해 ∑k∈N∣⟨x,ek⟩∣2=∥x∥2 \sum_{k \in \mathbb{N}} \left| \langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle \right|^{2} = \left\| \mathbf{x}\right\|^{2}
  • (v): span‾{ek}k∈N=H\overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = H
  • (vi): x∈H\mathbf{x}\in H 이고 모든 k∈Nk \in \mathbb{N} 에 대해 ⟨x,ek⟩=0\langle \mathbf{x}, \mathbf{e}_{k} \rangle = 0 이면 x=0\mathbf{x}= \mathbf{0}

같이보기

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p42 ↩︎