물리학에서 델 연산자란
설명
물리학에서 연산자는 함수를 함수에 대응시키는 함수를 말한다. 그 중에서도 델 연산자del operator란 어떤 함수가 주어졌을 때, 그 함수의 도함수를 함숫값으로 가지는 함수이다. 연산자라는 말이 생소하다면 그냥 대상을 계산하는 규칙이라고 이해하면 된다. 예를 들어 $\dfrac{d}{dx}$라는 함수에 $f$를 집어넣으면 $f^{\prime}$라는 함숫값이 나온다.
$$ \dfrac{d }{dx} \left( f \right) = f^{\prime} $$
델 연산자는 보통 아래와 같이 소개된다.
$$ \nabla = \frac{ \partial }{ \partial x }\hat{\mathbf{x}}+\frac{ \partial }{ \partial y }\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial }{ \partial z }\hat{\mathbf{z}} $$
위 식에서 보이는 것처럼 마치 벡터인 것처럼 다루기 때문에 $\vec{\nabla}$와 같이 표기하기도 한다. 이를 이용해서 스칼라 함수 $f$와 벡터 함수 $\mathbf{A}=A_{x}\hat{\mathbf{x}}+A_{y}\hat{\mathbf{y}}+A_{z}\hat{\mathbf{z}}$에 대한 세가지 연산을 배운다. 아래의 세 연산은 위에서부터 차례대로 $f$의 그래디언트, $\mathbf{A}$의 다이벌전스, $\mathbf{A}$의 컬이라고 한다.
$$ \begin{align*} \nabla f&=\frac{ \partial f }{ \partial x }\hat{\mathbf{x}}+\frac{ \partial f }{ \partial y }\hat{\mathbf{y}}+\frac{ \partial f }{ \partial z }\hat{\mathbf{z}} \\ \nabla \cdot \mathbf{A}&= \frac{ \partial A_{x} }{ \partial x }+\frac{ \partial A_{y} }{ \partial y }+\frac{ \partial A_{z} }{ \partial z } \\ \nabla\times \mathbf{A}&= \left( \frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{x}} + \left( \frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{ \partial A_{z}}{\partial x} \right)\hat{\mathbf{y}} + \left( \frac{\partial A_{y}}{\partial x}-\frac{\partial A_{x}}{\partial y} \right)\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$
보면 알겠지만 $\nabla$를 벡터인 것처럼 이해하면 위 계산을 자연스럽게 받아들일 수 있다. 하지만 이렇게 이해하는 것은 잘못됐다. 복잡한 수식이 등장할 경우 여러 부분에서 잘못된 계산을 하게 된다. 특히 델 연산자가 많이 들어가는 수식에서 계산 과정과 결과가 이해되지 않고 끙끙대며 시간을 낭비하는 일이 생길 수 있다.
위 식에서 우변의 값 또는 벡터를 좌변과 같이 표기하는 이유는 단순히 직관적으로 잘 맞아떨어지기 때문이며, 실제로는 $\nabla$와 $\mathbf{A}$의 내적이나 외적이 아니다. 각 문서에 들어가서 유도되는 과정을 보면 이해할 수 있을 것이다. 따라서 델 연산자라는 건 잊어버리고 $\nabla f$, $\nabla \cdot \mathbf{A}$, $\nabla \times \mathbf{A}$를 통째로 하나의 값 또는 벡터라고 이해해야한다.
(X) $\nabla f$ = 델 연산자와 스칼라 함수의 곱
(O) $\nabla f$ = 주어진 스칼라 함수를 세 공간좌표로 미분한 것을 각 성분으로 가지는 벡터 함수이며 $f$가 어느 방향으로, 어느 만큼 증가하는지에 대한 정보를 갖고 있다.
혹은
벡터함수 $\mathbf{A} = (A_{x}, A_{y}, A_{z})$에 대해서, $$ \frac{ d A_{x} }{ d x }+\frac{ d A_{y} }{ d y }+\frac{ dA_{z} }{ d z } $$ 와 같은 꼴의 수식은 물리학에서 자주 등장하니 항상 다 길게 적을 필요 없도록 간단히 $$ \nabla \cdot \mathbf{A} $$ 라고 표현하자고 약속한다. 편의상 $\nabla = (\frac{ \partial }{ \partial x }, \frac{ \partial }{ \partial y }, \frac{ \partial }{ \partial z })$라고 정의하면 직관적이고 찰떡같은 표기법이기 때문이다.
와 같이 이해하는 것이 올바르다.
두 벡터의 내적은 교환 가능하므로 $\nabla$를 벡터라고 생각해버리면 $\nabla\cdot \mathbf{A}$와 $\mathbf{A}\cdot \nabla$를 같은 것이라고 생각할 수 있다. 두 수식은 전혀 다르다. 애초에 $\nabla$는 미분에 대한 연산이므로 순서가 매우 중요하다.
$x\left(\dfrac{df}{dx}\right)$와 $\dfrac{d(xf)}{dx}$의 결과는 같지 않다는 것을 생각하면 이해하기 쉬울 것이다. 따라서 $\mathbf{A}\cdot \nabla$는 두 벡터의 내적이라고 이해하는 것이 아니라 $A_{x}\frac{ \partial }{ \partial x }+A_{y}\frac{ \partial }{ \partial y }+A_{z}\frac{ \partial }{ \partial z }$가 너무 길기 때문에 쉽게 표현하기 위해 만든 기호라고 이해해야한다. 또 다른 예로
$$ \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) $$
가 성립하기 때문에
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=(\mathbf{A} \cdot \nabla)\nabla - (\nabla \cdot \nabla)\mathbf{A} + \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \mathbf{A} (\nabla \cdot \nabla) $$
도 성립한다고 오해할 수 있지만 실제로는
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla ^{2} \mathbf{A} $$
가 맞는 식이다. 앞선 예와 마찬가지로$\dfrac{d}{dx} (fg)=\dfrac{df}{dx}g+f\dfrac{dg}{dx}$와 $\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{df}{dx} \right) =\dfrac{d^2 f}{dx^2}$의 결과가 전혀 다른 것과 비슷한 맥락이다.