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힐베르트 공간에서 l2 공간으로의 수반 작용소 📂힐베르트공간

힐베르트 공간에서 l2 공간으로의 수반 작용소

정리1

{vk}k∈N\left\{ \mathbf{v}_k \right\}_{k \in \mathbb{N}}이 힐베르트 공간 HH에서 정의된 시퀀스라 하자. 유계 선형 작용소 T:ℓ2→HT : \ell^{2} \to H 가 다음과 같이 정의되어있다고 하자.

T{ck}k∈N:=∑k=1∞ckvk T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k}

그러면 TT의 수반 작용소 T∗:H→ℓ2T^{ \ast } : H \to \ell^{2}는 다음과 같이 나타난다.

T∗v={⟨v,vk⟩H}k∈N T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}}

그 뿐만 아니라, 모든 v∈H\mathbf{v} \in H 에 대해

∑k=1∞∣⟨v,vk⟩H∣2≤∥T∥2∥v∥H2 \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right|^{2} \le \left\| T \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2}

그리고 마찬가지로 모든 v∈H\mathbf{v} \in H 에 대해

TT∗v=∑k∈N⟨v,vk⟩Hvk,v∈H TT^{ \ast } \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \mathbf{v}_{k} , \qquad \mathbf{v} \in H

설명

ℓ2\ell^{2} 공간은 lpl^{p} 공간 중에서도 내적이 존재한다는 점에서 큰 의미가 있는 공간으로, 그저 p=2p=2 인 한 예시가 아니라 범함수를 다루는 바나흐 공간에서 특별히 중요한 케이스가 된다. 특히 가분 힐베르트 공간과는 등거리동형이기 때문에 아주 중요하다.

증명

TT 의 정의에서

⟨v,T{ck}k∈N⟩H=⟨v,∑k=1∞ckvk⟩H=∑k=1∞ck‾⟨v,vk⟩H \left\langle \mathbf{v} , T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{H} = \left\langle \mathbf{v} , \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} = \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H}

T∗:H→ℓ2T^{ \ast } : H \to \ell^{2} 는 v∈H\mathbf{v} \in H 의 원소를 어떤 시퀀스 (T∗v)k∈ℓ2\left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \in \ell^{2} 로 매핑하므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

T∗v={(T∗v)k}k∈N T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}

선형이고 유계인 작용소는 마찬가지로 선형이고 유계이므로

∥T∗v∥2=(∑k=1∞∣(T∗v)k∣2)1/2≤∥T∗∥∥v∥H \left\| T^{ \ast } \mathbf{v} \right\|_{2} = \left( \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right|^{2} \right)^{1/2} \le \left\| T^{ \ast } \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}

이는 모든 k∈Nk \in \mathbb{N} 에 대해 다음을 함의한다.

∥(T∗v)k∥2≤∥T∗∥∥v∥H \left\| \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} \right\|_{2} \le \left\| T^{ \ast } \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}

다시 말해, 매핑 v↦(T∗v)k\mathbf{v} \mapsto \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} 는 모든 k∈Nk \in \mathbb{N} 에 대해 바운드 된다.

리즈 표현 정리

HH가 힐베르트 공간이라고 하자. HH의 선형 범함수 f∈H∗f \in H^{ \ast }와 x∈H\mathbf{x} \in H 에 대해 f(x)=⟨x,w⟩f ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle와 ∥f∥H∗=∥w∥H\| f \|_{H^{\ast}} = \| \mathbf{w} \|_{H} 을 만족하는 w∈H\mathbf{w} \in H 가 유일하게 존재한다.

(T∗v)k=⟨v,wk⟩H \left( T^{ \ast } \mathbf{v} \right)_{k} = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H}

그러면 리즈 표현 정리에 따라 다음을 만족하는 wk∈H\mathbf{w}_{k} \in H 가 존재해야한다. 이는 T∗vT^{ \ast } \mathbf{v} 가 어떤 {wk}k∈N⊂H\left\{ \mathbf{w}_k \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset H 에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있음을 의미한다.

T∗v={⟨v,wk⟩H}k∈N T^{ \ast }\mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}}

그러면 T∗T^{ \ast } 의 정의에 따라

∑k=1∞ck‾⟨v,vk⟩H=⟨v,T{ck}k∈N⟩H=⟨T∗v,{ck}k∈N⟩ℓ2=⟨{⟨v,wk⟩H}k∈N,{ck}k∈N⟩ℓ2=∑k=1∞ck‾⟨v,wk⟩H \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} =& \left\langle \mathbf{v} , T \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{H} \\ =& \left\langle T^{ \ast } \mathbf{v} , \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{\ell^{2}} \\ =& \left\langle \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} , \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \right\rangle_{\ell^{2}} \\ =& \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \end{align*}

정리하면

∑k=1∞ck‾⟨v,vk⟩H=∑k=1∞ck‾⟨v,wk⟩H \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} = \sum_{k=1}^{\infty} \overline{c_{k}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H}

따라서

T∗v={⟨v,wk⟩H}k∈N={⟨v,vk⟩H}k∈N T^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{w}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}}

그러면 수반 작용소의 성질에서 ∣T∣=∥T∗∥| T | = \left\| T^{ \ast } \right\| 이고 T∗T^{ \ast } 가 유계이므로

∥T∗v∥ℓ22≤∥T∗∥2∥v∥H2≤∥T∥2∥v∥H2 \left\| T^{ \ast } \mathbf{v} \right\|_{\ell^{2}}^{2} \le \left\| T^{ \ast } \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2} \le \left\| T \right\|^{2}\left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2}

급수꼴로 바꾸면

∑k=1∞∣⟨v,vk⟩H∣2≤∥T∥2∥v∥H2 \sum_{k=1}^{\infty} \left| \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right|^{2} \le \left\| T \right\|^{2} \left\| \mathbf{v} \right\|_{H}^{2}

마지막으로, T{ck}k∈N:=∑k=1∞ckvkT \left\{ c_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} := \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} 와 T∗v={⟨v,vk⟩H}k∈NT^{ \ast } \mathbf{v} = \left\{ \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 에서

TT∗v=∑k∈N⟨v,vk⟩Hvk,v∈H TT^{ \ast } \mathbf{v} = \sum_{k \in \mathbb{N}} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{v}_{k} \right\rangle_{H} \mathbf{v}_{k} , \qquad \mathbf{v} \in H

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  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p75-76 ↩︎