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힐베르트 공간에서의 직교 사영 📂힐베르트공간

힐베르트 공간에서의 직교 사영

정의1

힐베르트 공간 HH의 닫힌 부분공간 VV가 주어져있다고 하자.

v∈H\mathbf{v} \in H가 v1∈V\mathbf{v}_{1} \in V와 v2∈V⊥\mathbf{v}_{2} \in V^{\perp}에 대해 v=v1+v2\mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} 와 같이 나타난다고 할 때, 다음을 만족시키는 전사 P:H→VP :H \to V를 직교 사영orthogonal projection 이라고 한다.

Pv=v1 P \mathbf{v} = \mathbf{v}_{1}

설명

직교 사영은 다음과 같은 성질들을 가진다.

힐베르트 공간으로 확장된 직교 사영은 당연히 행렬대수에서의 직교 사영을 커버하며, 그 정의에서 조금 더 추상성이 강해진 느낌이 들 것이다.

정리

힐베르트 공간 HH 의 폐부분공간 VV의 [정규 직교 기저] {ek}k∈N\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 이 주어져 있다고 하자. 모든 v∈H\mathbf{v} \in H 에 대해 직교 사영 P:H→VP : H \to V 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Pv=∑k=1∞⟨v,ek⟩ek P \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k}

증명

{ek}k=1∞\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}가 VV의 기저이므로, Pv∈VP \mathbf{v} \in V는 a1=⋯=0a_{1} = \cdots = 0이 아닌 {ak}k=1∞⊂C\left\{ a_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} \subset \mathbb{C}에 대해 다음과 같이 나타난다.

Pv=∑k=1∞akek P \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k}

{ek}k=1∞\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}의 정규직교성에 의해 ⟨ei,ei⟩=1\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{i} \right\rangle = 1이고 i≠ji \ne j에 대해 ⟨ei,ej⟩=0\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = 0이므로

⟨Pv,Pv⟩=∑k=1∞ak2 \left\langle P \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2}

한편 Pv=∑k=1∞akekP \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k}에서 성질 P∗=PP^{ \ast }=P와 P2=PP^{2} = P 에 의해

⟨Pv,Pv⟩=⟨v,P∗Pv⟩=⟨v,Pv⟩=∑k=1∞ak⟨v,ek⟩ \left\langle P \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} ,P^{ \ast }P \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle

즉

∑k=1∞ak2=∑k=1∞ak⟨v,ek⟩ \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle

정리하면

∑k=1∞ak(ak−⟨v,ek⟩)=0 \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left( a_{k} - \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right) = 0

따라서 모든 k∈Nk \in \mathbb{N} 에 대해 ak=⟨v,ek⟩a_{k} = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle 이어야하고

Pv=∑k=1∞⟨v,ek⟩ek,v∈H P \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \qquad , \mathbf{v} \in H

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같이보기

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p74 ↩︎