📂힐베르트공간

힐베르트 공간에서의 직교 사영

정의¹

힐베르트 공간 $H$의 닫힌 부분공간 $V$가 주어져있다고 하자.

$\mathbf{v} \in H$가 $\mathbf{v}_{1} \in V$와 $\mathbf{v}_{2} \in V^{\perp}$에 대해 $\mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}$ 와 같이 나타난다고 할 때, 다음을 만족시키는 전사 $P :H \to V$를 직교 사영^{orthogonal projection} 이라고 한다.

$$ P \mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} $$

설명

직교 사영은 다음과 같은 성질들을 가진다.

• $P$ 는 선형이고 유계이며, $| P | = 1$
• $P$ 는 자기 수반 작용소, 즉 $P^{ \ast } = P$
• $P$ 는 아이뎀포텐트, 즉 $P^{2} = P$

힐베르트 공간으로 확장된 직교 사영은 당연히 행렬대수에서의 직교 사영을 커버하며, 그 정의에서 조금 더 추상성이 강해진 느낌이 들 것이다.

정리

힐베르트 공간 $H$ 의 폐부분공간 $V$의 [정규 직교 기저] $\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 이 주어져 있다고 하자. 모든 $\mathbf{v} \in H$ 에 대해 직교 사영 $P : H \to V$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ P \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} $$

증명

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$가 $V$의 기저이므로, $P \mathbf{v} \in V$는 $a_{1} = \cdots = 0$이 아닌 $\left\{ a_{k} \right\}_{k=1}^{\infty} \subset \mathbb{C}$에 대해 다음과 같이 나타난다.

$$ P \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k} $$

$\left\{ \mathbf{e}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$의 정규직교성에 의해 $\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{i} \right\rangle = 1$이고 $i \ne j$에 대해 $\left\langle \mathbf{e}_{i} , \mathbf{e}_{j} \right\rangle = 0$이므로

$$ \left\langle P \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2} $$

한편 $P \mathbf{v} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \mathbf{e}_{k}$에서 성질 $P^{ \ast }=P$와 $P^{2} = P$ 에 의해

$$ \left\langle P \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} ,P^{ \ast }P \mathbf{v} \right\rangle = \left\langle \mathbf{v} ,P \mathbf{v} \right\rangle = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle $$

즉

$$ \sum_{k =1}^{\infty} a_{k}^{2} = \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle $$

정리하면

$$ \sum_{k =1}^{\infty} a_{k} \left( a_{k} - \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \right) = 0 $$

따라서 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $a_{k} = \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle$ 이어야하고

$$ P \mathbf{v} = \sum_{k=1}^{\infty} \left\langle \mathbf{v} , \mathbf{e}_{k} \right\rangle \mathbf{e}_{k} \qquad , \mathbf{v} \in H $$

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같이보기

• 선형대수학에서의 정사영