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자기 쌍극자가 만드는 자기장 📂전자기학

자기 쌍극자가 만드는 자기장

설명

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자기 쌍극자 m\mathbf{m}에 의한 벡터 전위는 다음과 같다.

Adip(r)=μ04πm×r^r2=μ04πmsin⁡θr2ϕ^ \mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{\mathbf{m} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2} = \dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{m\sin\theta}{r^{2}} \hat{\boldsymbol{\phi}}

이제 위 그림과 같이 m\mathbf{m}이 원점에 있고, zz축과 나란하다고 하자. 자기장은 벡터 전위의 컬이므로 구면좌표계에서 다음과 같다.

B=∇×Adip=1rsin⁡θ[∂(sin⁡θAϕ)∂θ−∂Aθ∂ϕ]r^+1r[1sin⁡θ∂Ar∂ϕ−∂(rAϕ)∂r]θ^+1r[∂(rAθ)∂r−∂Ar∂θ]ϕ^ \begin{align*} \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}_{\text{dip}} &= \frac{1}{r\sin\theta} \left[\frac{\partial (\sin\theta A_\phi)}{\partial \theta} - \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \right]\mathbf{\hat{\mathbf{r}}} + \frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial A_{r}}{\partial \phi} - \frac{\partial (rA_\phi)}{\partial r} \right] \boldsymbol{\hat{\boldsymbol{\theta}}} \\[1em] &\quad+ \frac{1}{r} \left[\frac{\partial (rA_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial A_{r}}{\partial \theta} \right]\boldsymbol{\hat \phi} \end{align*}

각 성분을 계산해보면 아래와 같다. Adip\mathbf{A}_{\text{dip}}의 성분은 AϕA_{\phi}만 존재하므로,

Br=1rsin⁡θ∂(sin⁡θAϕ)∂θ=1rsin⁡θ∂∂θ(μ04πmsin⁡2θr2)=μ04π2mcos⁡θr3Bθ=−1r∂(rAϕ)∂r=−1r∂∂r(μ04πmsin⁡θr)=μ04πmsin⁡θr3Bϕ=0 \begin{align*} B_{r} &= \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\partial (\sin\theta A_\phi)}{\partial \theta} = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left( \dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{m\sin^{2}\theta}{r^{2}} \right) = \dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{2m\cos\theta}{r^{3}} \\[1em] B_{\theta} &= - \frac{1}{r} \frac{\partial (rA_\phi)}{\partial r} = - \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r} \left( \dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{m\sin\theta}{r} \right) = \dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{m\sin\theta}{r^{3}} \\[1em] B_{\phi} &= 0 \end{align*}

따라서 자기 쌍극자가 만드는 자기장은 다음과 같다.

Bdip(r,θ)=μ04πmr3(2cos⁡θr^+sin⁡θθ^) \begin{equation} \mathbf{B}_{\text{dip}} (r,\theta)=\frac{\mu_{0} }{4 \pi }\frac{m}{r^3}(2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}) \end{equation}

흥미롭게도 전기 쌍극자가 만드는 전기장과 정확히 같은 식이다.

공식

위의 식을 좌표계에 무관하게 바꾸면 다음과 같다.

Bdip(r)=μ04π1r3[3(m⋅r^)r^−m] \mathbf{B}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0}}{4 \pi}\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \mathbf{m}]

유도

우선 구면좌표계의 단위벡터를 직교좌표계의 단위벡터로 나타내면 다음과 같다.

r^= cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^θ^= cos⁡ϕcos⁡θx^+sin⁡ϕcos⁡θy^−sin⁡θz^ \begin{align*} \hat{\mathbf{r}} =&\ \cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\theta}} =&\ \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta\hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} \end{align*}

따라서 (1)(1)의 괄호 안의 식을 계산하면 다음과 같다.

2cos⁡θr^+sin⁡θθ^= 2cos⁡ϕsin⁡θcos⁡θx^+2sin⁡ϕsin⁡θcos⁡θy^+2cos⁡2θz^+cos⁡ϕsin⁡θcos⁡θx^+sin⁡ϕcos⁡θsin⁡θy^−sin⁡2θz^= 3cos⁡ϕsin⁡θcos⁡θx^+3sin⁡ϕsin⁡θcos⁡θy^+3cos⁡2θz^−(sin⁡2θ+cos⁡2θ)z^= 3cos⁡θ(cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^)−z^= 3(m^⋅r^)r^−z^ \begin{align*} & 2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin \theta \hat{\boldsymbol{\theta}} \\ =&\ 2 \cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + 2 \sin\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{y}} + 2 \cos^2 \theta \hat{\mathbf{z}} \\ & + \cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta \sin\theta \hat{\mathbf{y}} -\sin^2\theta \hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3\cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + 3 \sin\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{y}} + 3 \cos^2 \theta \hat{\mathbf{z}} -(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3 \cos\theta (\cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}}) - \hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3 (\hat{\mathbf{m}} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \hat{\mathbf{z}} \end{align*}

마지막 등호는 cos⁡θ=m^⋅r^\cos\theta = \hat{\mathbf{m}} \cdot \hat{\mathbf{r}}이므로 성립한다. 이제 다음의 결과를 얻는다.

Bdip(r,θ)=μ04πmr3(2cos⁡θr^+sin⁡θθ^)=μ04πmr3[3(m^⋅r^)r^−z^]=μ04π1r3[3(m⋅r^)r^−mz^]=μ04π1r3[3(m⋅r^)r^−m]=Bdip(r)) \begin{align*} \mathbf{B}_{\text{dip}}(r,\theta) &=\frac{\mu_{0} }{4 \pi }\frac{m}{r^3}(2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}) \\[1em] &= \frac{\mu_{0} }{4 \pi }\frac{m}{r^3}[3 (\hat{\mathbf{m}}\cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \hat{\mathbf{z}}] \\[1em] &= \frac{\mu_{0} }{4 \pi }\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - m \hat{\mathbf{z}}] \\[1em] &= \frac{\mu_{0}}{4 \pi }\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \mathbf{m}] \\[1em] &= \mathbf{B}_{\text{dip}}(\mathbf{r})) \end{align*}

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