📂정수론

산술 함수의 미분

정의 ¹

산술 함수 $f$ 의 미분 혹은 도함수 $f '$ 를 다음과 같이 정의한다. $$f ' (n) := f(n) \log n \qquad , n \in \mathbb{N}$$

기초 성질

• [1] 합의 미분법: $(f+g)' = f '+g'$
• [2] 곱의 미분법: $\left( f \ast g \right)' = f '\ast g + f \ast g'$
• [3] 몫의 미분법: $f(1) \ne 0$ 이면 $\left( f^{-1} \right)' = - f ' \ast\ (f \ast\ f)^{-1}$

설명

산술 함수는 개념적으로는 그냥 수열에 지나지 않기 때문에 흔히 변화율로 설명되곤 하는 미분을 정의할 수 없다. 하지만 단지 원래 함수에 로그를 곱함으로써 해석적 정수론에서의 미분을 정의할 수 있다. 이러한 미분은 개념적으로는 큰 의미가 없지만, 형식적으로는 원래의 미분과 매우 흡사하다는 것을 알 수 있다.

특히 로그와 관계가 깊은 망골트 함수 $\Lambda$에 대해서는 다음의 등식이 성립한다. $$\Lambda \ast\ u = u '$$ $u(n) = 1$ 이 쓰임새가 많은 유닛 함수라는 점에서 무궁무진한 응용의 가능성을 볼 수 있다.

[1]

$$(f+g)' (n) = \left[ f(n)+g(n) \right] \log n = f(n) \log n + g(n) \log n = f '(n) +g ' (n)$$

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[2]

$\log n = \log d + \log (n/d)$ 이므로 $$\begin{align*} \left( f \ast g \right)' (n) =& \sum_{d \mid n} f(d) g \left( {{ n } \over { d }} \right) \log n \\ =& \sum_{d \mid n} f(d) g \left( {{ n } \over { d }} \right) \log d + \sum_{d \mid n} f(d) g \left( {{ n } \over { d }} \right) \log {{ n } \over { d }} \\ =& f '\ast g + f \ast g' \end{align*}$$

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[3]

디리클레 인버스의 존재성을 위해 $f(1) \ne 0$ 은 가정되어야한다. 한편 디리클레 아이덴터티 $I$ 의 미분은 $I’ = 0$ 이고, $I = f \ast\ f^{-1}$ 이므로 $$0 = (f*f^{-1})' = f '*f^{-1} + f \ast (f^{-1})'$$ 따라서 $f \ast (f^{-1})' = - f '*f^{-1}$ 을 얻고, 양변에 $f^{-1}$ 을 곱하면 $$\left( f^{-1} \right)' = - f ' \ast\ (f \ast\ f)^{-1}$$

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