다르부의 중간값 정리 증명
정리
함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 이 $[a,b]$ 에서 미분가능하면 $f ' (a)$ 와 $f ' (b)$ 사이의 $y_{0}$ 에 대해 $y_{0} = f ' (c)$ 를 만족하는 $c \in (a,b)$ 가 존재한다.
설명
- 본 포스트는 ‘짱지’님의 요청으로 작성되었다.
증명
일반성을 잃지 않고, $f ' (a) < y_{0} < f '(b)$ 라 가정하자. 이에 대해 다음과 같은 함수 $g$ 를 정의하자.
$$ g(x) := y_{0} x - f(x) $$
$g$ 는 $[a,b]$ 에서 미분가능하므로 연속이고, 최대최소값 정리에 따라 $[a,b]$ 에서 최댓값을 가진다. $f ' (a) < y_{0}$ 이라 가정했으므로
$$ g ' (a) = y_{0} - f '(a) > 0 $$
인데 구간의 시점 $a$ 에서 미분계수가 양수라는 것은 $g(a)$ 가 최댓값은 아님을 함의한다. 마찬가지로 $y_{0} < f '(b)$ 이라 가정했으므로
$$ g ' (b) = y_{0} - f '(b) < 0 $$
인데 구간의 종점 $b$ 에서 미분계수가 음수라는 것은 $g(b)$ 역시 최댓값이 아님을 함의한다. 따라서 $g$ 는 $[a,b]$ 사이의 어떤 극점 $c$ 에서 최대값을 가져야하는데, 극값 $g ' (c) = 0$ 을 생각해보면
$$ g ' (c) = y_{0} - f '(c) = 0 $$
$f ' (c)$ 를 이항해서 정리하면 다음을 얻는다.
$$ y_{0} = f '(c) $$
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