📂정수론

해석적 수론에서의 망골트 함수

정의 ¹

다음과 같이 정의된 산술 함수 $\Lambda$ 를 망골트 함수라 한다. $$ \Lambda (n) := \begin{cases} \log p & n = p^{m} , p \text{ is prime}, m \in \mathbb{N} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

기초 성질

• [1] 망골트 급수: 로그 함수 $\log$ 다. 다시 말해, $$ \sum_{d \mid n} \Lambda ( d ) = \log n $$

설명

$$ \begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \Lambda (n) & 0 & \log 2 & \log 3 & \log 2 & \log 5 & 0 & \log 7 & \log 2 & \log 3 & 0 \\ \sum_{d \mid n} \Lambda (d) & 0 & \log 2 & \log 3 & \log 4 & \log 5 & \log 6 & \log 7 & \log 8 & \log 9 & \log 10 \end{matrix} $$ 로그 함수는 해석적 정수론에서 특히 중요한 함수로써, 산술 함수의 미분을 정의하는데 필요할 뿐만 아니라 소수 정리의 핵심 요소가 된다.

증명

[1]

소수 $p_{1} , \cdots , p_{r}$ 과 자연수 $a_{1} , \cdots , a_{r}$ 에 대해 $n = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}}$ 라고 하자. 그러면 $$ n = \prod_{k=1}^{r} p_{k}^{a_{k}} \iff \log n = \sum_{k=1}^{r} a_{k} \log p_{k} $$ 망골트 함수의 정의에 따라 $$ \begin{align*} \sum_{d \mid n} \Lambda (d) =& \sum_{k=1}^{r} \sum_{m=1}^{a_{k}} \Lambda \left( p_{k}^{m} \right) \\ =& \sum_{k=1}^{r} \sum_{m=1}^{a_{k}} \log p_{k} \\ =& \sum_{k=1}^{r} a_{k} \log p_{k} \\ =& \log n \end{align*} $$

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