📂복소해석

복소해석에서 삼각함수와 지수함수의 관계

정리 ¹

복소함수로써의 사인, 코사인 함수 $\sin , \cos : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 는 다음과 같다. $$ \sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i } \\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 } $$

설명

사실 정리라기보단 그냥 정의라고 생각해도 좋다. 이렇게 정의를 했을 때 기존에 밝혀진 정리들과 충돌이 없다 것을 보이기 위함이다. 증명 또한 이미 오일러 공식으로 알고 있던 것을 삼각함수에 맞게 정리한 것 뿐이다.

증명

오일러 공식 $\displaystyle { e }^{ ix }= \cos x + i \sin x$ 에 의해 $$ \begin{cases} { e }^{ iz }= \cos z + i \sin z \\ { e }^{ -iz }= \cos z - i \sin z \end{cases} $$ 이들을 삼각함수에 대해 정리하면 $$ \sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i } \\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 } $$

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