📂정수론

해석적 수론에서의 유닛 함수

정의 ¹

다음과 같이 정의된 산술 함수 $u$ 를 유닛 함수라 한다. $$ u(n) := 1 $$

기초 성질

• [1] 유닛 급수: 약수의 갯수 $\sigma_{0}$ 다. 다시 말해, $$ \sum_{d \mid n} u(d) = \sigma_{0} (n) $$
• [2] 완전 승법성: 모든 $m,n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $u(mn) = u(m) u(n)$

설명

$$ \begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ u (n) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \sum_{d \mid n} u(d) & 1 & 2 & 2 & 3 & 2 & 4 & 2 & 4 & 3 & 4 \end{matrix} $$ 유닛 함수라는 그 이름에서 알 수 있듯 아주 중요한 함수다. 컨볼루션을 생각해보면 임의의 산술 함수 $f$ 의 급수 $F$ 는 사실상 다음과 같이 표현된다. $$ f \ast\ u = F $$

증명

[1]

$$ \sum_{d \mid n} u(d) = \sum_{d \mid n} 1 = \sigma_{0} (n) $$ 디바이저 함수의 정의에 따라 자명하다.

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[2]

$$ u(mn) = 1 = 1 \cdot 1 = u(m) u(n) $$

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