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쌍극자가 만드는 전기장 📂전자기학

쌍극자가 만드는 전기장

설명1

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전기 쌍극자 p\mathbf{p}에 의한 전위는 다음과 같다.

Vdip(r)=14πϵ0p⋅r^r2=14πϵ0pcos⁡θr2 V_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{\mathbf{p}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{p\cos\theta}{r^{2}}

이제 위 그림과 같이 p\mathbf{p}가 원점에 있고, zz축과 나란하다고 하자. 전기장은 전위의 그래디언트이므로 구면좌표계에서 다음과 같다.

E=−∇V=−(∂V∂rr^+1r∂V∂θθ^+1rsin⁡θ∂V∂ϕϕ^) \mathbf{E} = - \nabla V = -\left( \dfrac{\partial V}{\partial r}\hat{\mathbf{r}} + \frac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial \theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} + \dfrac{1}{r \sin\theta}\dfrac{\partial V}{\partial \phi}\hat{\boldsymbol{\phi}}\right)

각 성분을 계산해보면 아래와 같다.

Er=−∂V∂r=−14πϵ02pcos⁡θr3Eθ=−1r∂V∂θ=14πϵ0psin⁡θr3Eϕ=−1rsin⁡θ∂V∂ϕ=0 \begin{align*} E_{r} &= -\dfrac{\partial V}{\partial r} = -\dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{2p\cos\theta}{r^{3}} \\ E_{\theta} &= -\frac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial \theta} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{p\sin\theta}{r^{3}} \\ E_{\phi} &= -\dfrac{1}{r \sin\theta}\dfrac{\partial V}{\partial \phi} = 0 \end{align*}

따라서 쌍극자가 만드는 전기장은 다음과 같다.

Edip(r,θ)=14πϵ0pr3(2cos⁡θr^+sin⁡θθ^) \begin{equation} \mathbf{E}_{\text{dip}}(r,\theta)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{p}{r^3}(2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}) \end{equation}

공식

위의 식을 좌표계에 무관하게 바꾸면 다음과 같다.

Edip(r)=14πϵ01r3[3(p⋅r^)r^−p] \mathbf{E}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}]

유도

우선 구면좌표계의 단위벡터를 직교좌표계의 단위벡터로 나타내면 다음과 같다.

r^= cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^θ^= cos⁡ϕcos⁡θx^+sin⁡ϕcos⁡θy^−sin⁡θz^ \begin{align*} \hat{\mathbf{r}} =&\ \cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\boldsymbol{\theta}} =&\ \cos\phi \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta\hat{\mathbf{y}} - \sin\theta\hat{\mathbf{z}} \end{align*}

따라서 (1)(1)의 괄호 안의 식을 계산하면 다음과 같다.

2cos⁡θr^+sin⁡θθ^= 2cos⁡ϕsin⁡θcos⁡θx^+2sin⁡ϕsin⁡θcos⁡θy^+2cos⁡2θz^+cos⁡ϕsin⁡θcos⁡θx^+sin⁡ϕcos⁡θsin⁡θy^−sin⁡2θz^= 3cos⁡ϕsin⁡θcos⁡θx^+3sin⁡ϕsin⁡θcos⁡θy^+3cos⁡2θz^−(sin⁡2θ+cos⁡2θ)z^= 3cos⁡θ(cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^)−z^= 3(p^⋅r^)r^−z^ \begin{align*} & 2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin \theta \hat{\boldsymbol{\theta}} \\ =&\ 2 \cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + 2 \sin\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{y}} + 2 \cos^2 \theta \hat{\mathbf{z}} \\ & + \cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \cos\theta \sin\theta \hat{\mathbf{y}} -\sin^2\theta \hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3\cos\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{x}} + 3 \sin\phi \sin\theta \cos\theta \hat{\mathbf{y}} + 3 \cos^2 \theta \hat{\mathbf{z}} -(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3 \cos\theta (\cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}}) - \hat{\mathbf{z}} \\ =&\ 3 (\hat{\mathbf{p}} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \hat{\mathbf{z}} \end{align*}

마지막 등호는 cos⁡θ=p^⋅r^\cos\theta = \hat{\mathbf{p}} \cdot \hat{\mathbf{r}}이므로 성립한다. 이제 다음의 결과를 얻는다.

Edip(r,θ)= 14πϵ0pr3(2cos⁡θr^+sin⁡θθ^)= 14πϵ0pr3[3(p^⋅r^)r^−z^]= 14πϵ01r3[3(p⋅r^)r^−pz^]= 14πϵ01r3[3(p⋅r^)r^−p]= Edip(r) \begin{align*} \mathbf{E}_{\text{dip}}(r,\theta) =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{p}{r^3}(2\cos\theta \hat{\mathbf{r}} + \sin\theta \hat{\boldsymbol{\theta}}) \\[1em] =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{p}{r^3}[3 (\hat{\mathbf{p}} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \hat{\mathbf{z}}] \\[1em] =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - p \hat{\mathbf{z}}] \\[1em] =&\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\frac{1}{r^3}[3 (\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}) \hat{\mathbf{r}} - \mathbf{p}] \\[1em] =&\ \mathbf{E}_{\text{dip}}( \mathbf{r} ) \end{align*}

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  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition, 2014), p169-170 ↩︎