📂정수론

해석적 정수론에서의 놈

정의 ¹

다음과 같이 정의된 산술 함수 $N$ 을 놈이라 한다. $$N(n) := n$$

기초 성질

• [1] 놈 급수: 시그마 함수 $\sigma = \sigma_{1}$ 다. 다시 말해, $$\sum_{d \mid n } N(d) = \sigma_{1}(n)$$
• [2] 완전 승법성: 모든 $m,n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $N(mn) = N(m) N (n)$

설명

$$\begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ N(n) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \sum_{d \mid n} N(d) & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 6 & 8 & 15 & 13 & 18 \end{matrix}$$ 특별할 것 하나 없는 이 함수를 굳이 놈이라고 부르는 이유는 가우시안 링의 놈이나 아이젠슈타인 링의 놈과 같이 주어진 수의 크기를 나타내기 때문이다. 그러나 그러한 명명과 달리 $N$ 은 산술 함수로 정의되었으므로 일반적인 의미에서의 놈은 아님에 주의해야한다.

증명

[1]

디바이저 함수의 정의$\alpha \in \mathbb{C}$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $\sigma_{\alpha} : \mathbb{N} \to \mathbb{C}$ 을 디바이저 함수라고 부른다. $$\sigma_{\alpha} (n) := \sum_{d \mid n} d^{\alpha}$$

$$\sum_{d \mid n } N(d) = \sum_{d \mid n } d = \sum_{d \mid n } d^{1} = \sigma_{1}(n)$$

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[2]

$$N(mn) = mn = N(m) N(n)$$

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