📂정수론

디리클레 곱과 승법적 성질

정리 ¹

• [1]: $f$ 와 $g$ 가 승법적 함수면 $f \ast\ g$ 도 승법적 함수다.
• [2]: $g$ 와 $f \ast g$ 가 승법적 함수면 $f$ 도 승법적 함수다.

설명

이 성질들은 승법적 함수들의 대수적인 성질을 논할 때 바로 쓰일 수 있다:

• 정리 [1]은 다시 말해 승법적 함수가 컨볼루션 $\ast$에 대해 닫혀있음을 의미한다.
• 정리 [2]는 $g$ 와 $I = g\ast g^{-1}$ 와 같이 둠으로써 승법적 함수의 인버스가 승법적 함수임을 보일 수 있다.

증명

[1]

$h := f \ast\ g$ 그리고 $\gcd ( m , n ) = 1$ 이라고 하면 $$ h(mn) = \sum_{c \mid mn} f(c) g \left( {{ mn } \over { c }} \right) $$ 이제 $c$ 를 $a \mid m$ 과 $b \mid n$ 을 만족시키는 $c = ab$ 로 두면 $\gcd ( m, n) = 1$ 이므로 $\gcd (a,b) = 1$ 이고, $\gcd (m/a, n/b)$ 다. 따라서 $$ \begin{align*} h(mn) =& \sum_{a \mid m \\ b \mid n} f (ab) g \left( {{ mn } \over { ab }} \right) \\ =& \sum_{a \mid m \\ b \mid n} f (a) f(b) g \left( {{ m } \over { a }} \right) g \left( {{ n } \over { b }} \right) \\ =& \sum_{a \mid m } f (a) g \left( {{ m } \over { a }} \right) \sum_{b \mid n} f(b) g \left( {{ n } \over { b }} \right) \\ =& h(m) h(n) \end{align*} $$

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[2]

$g$ 와 $h := f \ast\ g$ 가 승법적 함수라고 하자.

$f$ 가 승법적 함수가 아니라고 가정해보자. $f$ 가 승법적 함수가 아니라면 $f(mn) \ne f(m) f(n)$ 와 $\gcd (m,n) = 1$ 을 만족하는 $m, n$ 이 존재해야한다. 편의상 모든 조건을 만족시키는 수들 중 $mn$ 가 가장 작아지도록 $m,n$ 을 선택한다고 하자.

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Case 1. $mn = 1$

$f(1) \ne f(1) f(1)$ 이므로 $f(1) \ne 1$ 이다. 그런데 $$ \begin{align*} 1 =& h(1) \\ =& f(1) g(1) \\ =& f(1) \cdot 1 \ne 1 \end{align*} $$ 이므로, $h = f \ast g$ 는 승법적 함수가 아니게 된다. 이는 모순이다.

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Case 2. $mn > 1$

$m,n$ 의 가정에 따라 $ab < mn$ 이고 $\gcd ( a,b) = 1$ 인 모든 $a,b$ 에 대해 $f(ab) = f(a) f(b)$ 여야한다. 그러면 $g$ 는 승법적 함수여서 $g(1) = 1$ 이므로 $$ \begin{align*} h(mn) =& \sum_{a \mid m \\ b \mid n \\ ab < mn} f (ab) g \left( {{ mn } \over { ab }} \right) + f(mn) g(1) \\ =& \sum_{a \mid m \\ b \mid n \\ ab < mn} f (a) f(b) g \left( {{ m } \over { a }} \right) g \left( {{ n } \over { b }} \right) + f(mn) \cdot 1 \\ =& \sum_{a \mid m } f (a) g \left( {{ m } \over { a }} \right) \sum_{b \mid n} f(b) g \left( {{ n } \over { b }} \right) - f(m)f(n) + f(mn) \\ =& h(m)h(n) - f(m)f(n) + f(mn) \end{align*} $$ 정리하면 $$ h(mn) - h(m)h(n) = f(mn) - f(m) f(n) $$ 그런데 $f$ 가정에 따라 $f(mn) \ne f(m)f(n)$ 이므로 $$ h(mn) - h(m) h(n) \ne 0 $$ 따라서 $h = f \ast g$ 는 승법적 함수가 아니게 된다. 이는 모순이다.

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