충분히 작은 각도란
설명
물리학의 많은 곳에서 근사식 $\sin x\approx x$를 사용한다. 이 근사를 사용할 수 있는 이유는 아래의 식이 성립하기 때문이다.
$$ \lim \limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
위 식은 고등학교에서 처음 배우기 때문에 대학생이라면 당연한 것처럼 느껴질 정도이다. 그래서 근사할 수 있다는 것에 의문을 가지는 사람은 거의 없을 것이다. 그런데 여기서 어느정도로 작아야 비슷하다고 할 수 있을까? 예를 들어 단진자의 주기를 구하는 과정에서 위 근사를 쓰는데, 그 때 '진자가 어느 정도로 진동해야 위 근사가 맞을까?‘하는 의문이 들 수 있다. $y=\sin x$, $y=x$ 두 함수의 그래프를 보자.
그래프를 보면 $\left| x \right|$가 작아질 수록 두 그래프가 거의 같아지는 것은 분명하다. 차이가 좀 나기 시작할 때의 점을 찍어보면
비율을 계산해보면 $\dfrac{5539}{5871}=0.943450$이다. $6$%정도의 오차가 나오는 것을 확인할 수 있다. 이정도면 대충 비슷하다고 해도 될 것 같다. 이번엔 $y=\dfrac{\sin x}{x}$의 그래프를 그려보자.
$5$%정도의 오차가 나는 각도는 라디안으로 $0.0536$이다. $10$% 정도의 오차가 나는 각도는 라디안으로 $0.7775$이다. 이를 도${}^{\circ}$로 바꿔보면
꽤나 넉넉한 범위라는 것을 알 수 있다. 충분히 작은 각도라고 해서 $10^{\circ}$이내라던가 $5^{\circ}$이내라던가 하지는 않다. 오차를 어느정도로 봐주느냐에 따라서 달라지겠지만 $30^{\circ}$안에서는 $\sin x$와 $x$의 오차가 $5$% 보다 작으므로 충분히 작은 각도라고 하면 $30^{\circ}$보다 작은 각도 정도로 생각하면 될 것 같다.