📂확률분포론

지수 분포

정의 ¹

$\lambda > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 $\exp ( \lambda)$ 를 지수 분포^{exponential distribution}라고 한다. $$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \qquad , x \ge 0 $$

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• 모수는 책에 따라서 그 역수인 $\displaystyle \theta = {{ 1 } \over { \lambda }}$ 을 쓰기도 한다.

기초 성질

적률 생성 함수

• [1]: $$m(t) = {{ \lambda } \over { \lambda - t }} \qquad , t < \lambda$$

평균과 분산

• [2]: $X \sim \exp ( \lambda)$ 면 $$ \begin{align*} E(X) =& {{ 1 } \over { \lambda }} \\ \text{Var} (X) =& {{ 1 } \over { \lambda^{2} }} \end{align*} $$

충분통계량과 최대우도추정량

• [3]: 랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \exp \left( \lambda \right)$ 이 주어져 있다고 하자.

$\lambda$ 에 대한 충분통계량 $T$ 와 최대우도추정량 $\hat{\lambda}$ 는 다음과 같다. $$ \begin{align*} T =& \sum_{k=1}^{n} X_{k} \\ \hat{\lambda} =& {{ n } \over { \sum_{k=1}^{n} X_{k} }} \end{align*} $$

정리

무기억성

• [a]: $X \sim \exp ( \lambda ) $ 면 $$ P ( X \ge s + t \mid X \ge s ) = P (X \ge t) $$

감마 분포와의 관계

• [b]: $$\Gamma \left(1, { 1 \over \lambda } \right) \iff \text{exp} (\lambda)$$

베이불 분포로의 일반화

• [c]: 지수 분포는 베이불 분포에서 $k=1$ 인 분포다. $$ f(x) = {{ k } \over { \theta }} \left( {{ x } \over { \theta }} \right)^{k-1} e^{-(x/\theta)^{k}} \qquad , x \ge 0 $$

설명

기하분포와의 관계

지수 분포는 관심 있는 사건이 발생할 때까지의 시간이 따르는 분포로써, 기하 분포의 연속화라고도 볼 수 있다. 기하 분포의 발생횟수에 대한 일반화로써 음이항 분포를 생각할 수 있는데, 지수 분포의 발생횟수에 대한 일반화는 감마 분포라 할 수도 있을 것이다.

푸아송분포와의 관계

한편 푸아송 분포와 지수 분포는 비슷한 현상에 관심을 가지지만 각각 단위 시간동안 사건의 발생 횟수, 사건이 발생때까지 걸리는 시간에 관심이 있다는 차이가 있다. 두 분포의 이러한 관계 때문에 몇몇 책에서 두 분포는 같은 그리스 문자 $\lambda$ 를 쓰기도 한다. 특히 푸아송 분포의 평균이 $\lambda$, 지수 분포의 평균이 $\displaystyle {{ 1 } \over { \lambda }}$ 이라는 점을 생각해보면 두 분포의 관계가 어떤 ‘역’ 비슷한 것이라고 받아들일 수 있다.

증명

[1]

$t < \lambda$ 일 때만 $$ \begin{align*} m(t) =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} f(x) dx \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} \lambda e^{-\lambda x} dx \\ =& \lambda \int_{0}^{\infty} e^{(t - \lambda ) x} dx \\ =& \lambda {{ 1 } \over { t - \lambda }} [ 0 - 1 ] \\ =& {{ \lambda } \over { \lambda - t }} \end{align*} $$

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[2]

직접연역한다.

■

[3]

직접연역한다.

■

[a]

조건부 확률로 유도한다.

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[b]

적률생성함수로 보인다.

■

[c]

확률밀도함수를 보면 자명하다.

■

시각화

다음은 지수분포의 확률밀도함수를 움짤로 보여주는 줄리아 코드다.

@time using LaTeXStrings
@time using Distributions
@time using Plots

cd(@__DIR__)

x = 0:0.1:10
Λ = collect(0.1:0.1:5.0); append!(Λ, reverse(Λ))

animation = @animate for λ ∈ Λ
    plot(x, pdf.(Exponential(λ), x),
     color = :black,
     label = "λ = $(round(λ, digits = 2))", size = (400,300))
    xlims!(0,10); ylims!(0,0.5); title!(L"\mathrm{pdf\,of\,} \exp(\lambda)")
end
gif(animation, "pdf.gif")