지수 분포
정의 1
$\lambda > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속 확률 분포 $\exp ( \lambda)$ 를 지수 분포exponential distribution라고 한다. $$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \qquad , x \ge 0 $$
- 모수는 책에 따라서 그 역수인 $\displaystyle \theta = {{ 1 } \over { \lambda }}$ 을 쓰기도 한다.
기초 성질
적률 생성 함수
- [1]: $$m(t) = {{ \lambda } \over { \lambda - t }} \qquad , t < \lambda$$
평균과 분산
- [2]: $X \sim \exp ( \lambda)$ 면 $$ \begin{align*} E(X) =& {{ 1 } \over { \lambda }} \\ \operatorname{Var} (X) =& {{ 1 } \over { \lambda^{2} }} \end{align*} $$
충분통계량과 최대우도추정량
- [3]: 랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \exp \left( \lambda \right)$ 이 주어져 있다고 하자.
$\lambda$ 에 대한 충분통계량 $T$ 와 최대우도추정량 $\hat{\lambda}$ 는 다음과 같다. $$ \begin{align*} T =& \sum_{k=1}^{n} X_{k} \\ \hat{\lambda} =& {{ n } \over { \sum_{k=1}^{n} X_{k} }} \end{align*} $$
정리
무기억성
- [a]: $X \sim \exp ( \lambda ) $ 면 $$ P ( X \ge s + t \mid X \ge s ) = P (X \ge t) $$
감마 분포와의 관계
- [b]: $$\Gamma \left(1, { 1 \over \lambda } \right) \iff \text{exp} (\lambda)$$
베이불 분포로의 일반화
- [c]: 지수 분포는 베이불 분포에서 $k=1$ 인 분포다. $$ f(x) = {{ k } \over { \theta }} \left( {{ x } \over { \theta }} \right)^{k-1} e^{-(x/\theta)^{k}} \qquad , x \ge 0 $$
설명
기하분포와의 관계
지수 분포는 관심 있는 사건이 발생할 때까지의 시간이 따르는 분포로써, 기하 분포의 연속화라고도 볼 수 있다. 기하 분포의 발생횟수에 대한 일반화로써 음이항 분포를 생각할 수 있는데, 지수 분포의 발생횟수에 대한 일반화는 감마 분포라 할 수도 있을 것이다.
푸아송분포와의 관계
한편 푸아송 분포와 지수 분포는 비슷한 현상에 관심을 가지지만 각각 단위 시간동안 사건의 발생 횟수, 사건이 발생때까지 걸리는 시간에 관심이 있다는 차이가 있다. 두 분포의 이러한 관계 때문에 몇몇 책에서 두 분포는 같은 그리스 문자 $\lambda$ 를 쓰기도 한다. 특히 푸아송 분포의 평균이 $\lambda$, 지수 분포의 평균이 $\displaystyle {{ 1 } \over { \lambda }}$ 이라는 점을 생각해보면 두 분포의 관계가 어떤 ‘역’ 비슷한 것이라고 받아들일 수 있다.
증명
[1]
$t < \lambda$ 일 때만 $$ \begin{align*} m(t) =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} f(x) dx \\ =& \int_{0}^{\infty} e^{tx} \lambda e^{-\lambda x} dx \\ =& \lambda \int_{0}^{\infty} e^{(t - \lambda ) x} dx \\ =& \lambda {{ 1 } \over { t - \lambda }} [ 0 - 1 ] \\ =& {{ \lambda } \over { \lambda - t }} \end{align*} $$
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[2]
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[3]
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[a]
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[b]
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[c]
확률밀도함수를 보면 자명하다.
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시각화
다음은 지수분포의 확률밀도함수를 움짤로 보여주는 줄리아 코드다.
@time using LaTeXStrings
@time using Distributions
@time using Plots
cd(@__DIR__)
x = 0:0.1:10
Λ = collect(0.1:0.1:5.0); append!(Λ, reverse(Λ))
animation = @animate for λ ∈ Λ
plot(x, pdf.(Exponential(λ), x),
color = :black,
label = "λ = $(round(λ, digits = 2))", size = (400,300))
xlims!(0,10); ylims!(0,0.5); title!(L"\mathrm{pdf\,of\,} \exp(\lambda)")
end
gif(animation, "pdf.gif")
Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition): p159. ↩︎