오일러-마스케로니 상수의 수렴성 증명
정리
$$ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \left( { 1 \over k } \right) - \ln{n} \right) = 0.577215664 \cdots $$
설명
리만-제타 함수와 연관짓자면 $\gamma$ $0$번째 스틸체스 상수 $\gamma_{0}$ 기도 하다. $\gamma$ 는 짧게는 그냥 오일러 상수 라고도 불리는 수로써, 감마 함수와 깊은 관계가 있다. 정확한 값은 둘째치고, 일단 수렴을 하기는 하는걸까? $\ln{n}$ 와 조화급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \left( { 1 \over k } \right)$ 가 발산하므로 $$ \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{n} \left( { 1 \over k } \right) - \ln{n} \right) $$ 의 존재성이 자명하지는 않다.
참고로 이 수는 세상에 나온지 300년이 다 되어가지만 아직 유리수인지 무리수인지 알려진 바가 없다.
증명
시퀀스 $\displaystyle \gamma _{n} := \sum_{k=1}^{n} \left( { 1 \over k } \right) - \ln{n}$ 을 생각해보자.
$\gamma_{1} = 1$ 이고
$$ \Gamma_{n} = \sum_{k=1}^{n-1} \left( { 1 \over k } \right) - \int_{1}^{n} {{1} \over {x}} dx + {{1} \over {n}} $$
그림으로 표현하면 $\gamma_{n}$ 은 $\displaystyle y = {1 \over x}$ 위의 면적을 $x=1$ 부터 $x=n$ 까지 모두 더한 것에 $\displaystyle {{1} \over {n}}$ 를 더한 것과 같다.
$$ \sum_{k=1}^{n-1} \left( { 1 \over k } \right) - \int_{1}^{n} {{1} \over {x}} dx > 0 $$
이므로, $ \gamma _{n} > 0$ 이다. 한편
$$ \begin{align*} \gamma_{n+1} =& \sum_{k=1}^{n+1} {{1} \over {k}} +0 - \ln (n+1) \\ =& \sum_{k=1}^{n} {{1} \over {k}} + { 1 \over {n+1} } + \left( \ln n - \ln n \right) - \ln (n+1) \\ =& \sum_{k=1}^{n} {{1} \over {k}} - \ln n + { 1 \over {n+1} } + \ln n - \ln (n+1) \\ =& \gamma_{n} + { 1 \over {n+1} } - \ln {{n+1} \over {n}} \\ =& \gamma_{n} + { 1 \over {n+1} } - \int_{n}^{n+1} { 1 \over x } dx \end{align*} $$
인데 $\displaystyle { 1 \over {n+1} } < \int_{n}^{n+1} { 1 \over x } dx$ 이므로
$$ \Gamma_{n+1} = \gamma_{n} + { 1 \over {n+1} } - \int_{n}^{n+1} { 1 \over x } dx < \gamma_{n} $$
즉, $\gamma_{n}$은 감소수열이다. 자연수 $n$ 에 대해 $\gamma _{n} > 0$ 이 성립하고 $\gamma _{n}$ 이 감소수열이므로 $\gamma _{n}$은 수렴한다.
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