📂동역학

미분방정식로 표현되는 시스템의 플로우와 타임-T 맵

정의 ¹

플로우

공간 $X$ 와 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$\dot{x} = f(x)$$ 시간 변수 $t$ 와 초기값 $x_{0}$ 에 대한 자율 미분 방정식의 해를 플로우라 하고 $F(t, x_{0})$ 와 같이 나타낸다. 픽스된 단위 시간 $t = T$ 에 대해 $F_{T}(x) := F(T,x)$ 를 타임-$T$ 맵이라 한다.

타임 에볼루션

주로 하나의 좌표만 남기는 프로젝션 $P : X \to \mathbb{R}^{1}$ 에 대해, $P \left( F \left( t, x_{0} \right) \right)$ 를 시간 $t$ 에 대한 함수로써 볼 때 이를 타임 에볼루션^{time evolution}이라 부르기도 한다.

설명

플로우^flow는 궤적^trajectory 혹은 위상 공간^{phase space}라도 불린다. [ NOTE: 수학 전반에서 일컫는 위상 공간과 동음이의어일 뿐, 개념적으론 큰 관계가 없다. ]

플로우 $F$ 는 그 정의에서 초기값 $x_{0}$ 을 픽스하고 $t$ 에 따른 변화를 묘사함을 알 수 있다. 타임-$T$ 맵은 본래 미분 방정식으로 나타나서 연속적인 동역학계를 맵으로 다루기 위해서 도입되었다. 이로써 다차원 맵에서의 논의를 미분 방정식으로 확장할 수 있게 된다.

예시

예로써 $\dot{x} = x$ 라는 간단한 자율 시스템을 생각해보자:이 시스템의 솔루션은 간단하게도 $x = x_{0} e^{t}$ 이므로 이 시스템의 플로우는 초기값 $x_{0}$ 에 대해 $F(t,x_{0}) = x_{0} e^{t}$ 이 될 것이다. 한편 초기값을 픽스하지 않고 $x$ 에서 시작된 시스템이 시간 $T$ 가 지났을 때는 타임-$T$ 맵으로 확인하게 된다. 타임-$T$ 맵은 다음과 같이 $x$ 를 시간 $T$ 가 지난 후의 $x e^{T}$ 로 매핑해준다. $$F_{T} : x \mapsto x e^{T}$$ 동역학에서 널리 쓰이는 표현은 아니겠지만, 일반적인 다차원 맵처럼 표현하고 싶다면 다음과 같은 식을 세워볼 수 있다. $$F_{T+1} (x) = F_{1} \left( F_{T}(x) \right)$$