이원수 📂추상대수

이원수

정의

$\epsilon^{2} = 0 (\epsilon \neq 0)$ 을 만족하는 $\epsilon$ 에 대해서 다음과 같은 꼴을 이원수^{dual numbers}라고 한다.

$a + b\epsilon,\qquad a, b \in \mathbb{R}$

설명

정의를 보면 알 수 있듯이, $\epsilon$ 은 순서쌍에서 두번째 차원을 만든다는 점에서 복소수의 $i$ 와 비슷한 역할을 한다. 물론 그 성질은 전혀 다르다.

$x + yi = (x, y) \\[1em] a + b\epsilon = (a, b)$

이원수는 그 자체로도 순수수학적으로 흥미로우며 중요한 의미를 갖는 반면, 응용수학에서도 중요한 곳에 활용되기 때문에 아주 재미있는 대상이라 생각한다.

순수수학적 측면

정의에서의 $\epsilon$ 은 $0$ 이 아니지만 제곱해서 $0$ 이 되는 수이므로 영인자^{zero divisor}이다. 즉 정역^{integral domain}이 아닌 곳에서 선택해야 한다. 이러한 $\epsilon$ 으로부터 만들어진 이원수의 집합은 환^ring을 이루는데, 두 이원수 $x, y$ 에 대해서 $xy = 0$ 이 되려면 $x$ 와 $y$ 둘 중 하나는 $0 + 0\epsilon$ 이어야 한다. 즉 이원수들의 집합은 정역이다. 다시말해 이원수를 정의하고 연산을 주어 환을 만드는 과정은, 정역이 아닌 환으로부터 정역을 만드는 방법인 것이다.

응용수학적 측면

이원수의 연산은 미분계수의 관점에서 봤을 때 대단히 재미있는 성질을 갖고 있다. 두번째 성분이 미분계수가 되어 덧셈, 곱셈에 대해서 미분계수가 보존된다는 것이다. 미분가능한 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 에 대해서 잘 정의하면, 함수에 대입하는 것과 함수의 합성에서도 미분계수가 잘 보존된다는 것을 확인할 수 있다. 이러한 특징 덕분에 이원수는 굉장히 순수수학스러운 대상이지만, 딥러닝에서 인공신경망을 최적화할 때 쓰이는 역 전파 알고리즘에서 미분계수를 계산하는 방식인 자동미분에 응용될 수 있다.

이원수의 개념은 대수와 전혀 인연이 없을 것 같은 확률미분방정식에서도 등장하는데, 위너 프로세스 $W_{t}$ 를 다룰 때 등장하는 매우 짧은 미소 구간 $dt$ 와 $d W_{t}$ 사이의 연산인 이토 곱셈 테이블이 그에 해당한다. 여기서 $dt > 0$ 는 분명히 양수지만 그 제곱부터는 너무 작아서 무시할 수 있을 정도로 가정한다. 해석적으로 엄밀하지 않은 가정을 추상대수가 뒷받침하는 것이 매우 흥미로운 점이다.

연산

이원수들의 집합에 아래와 같은 두 연산을 주면, 그 집합은 환을 이룬다.

덧셈

두 이원수 $a+b\epsilon$ 과 $c + d\epsilon$ 의 덧셈은 다음과 같이 정의된다.

$(a + b\epsilon) + (c + d\epsilon) = (a + c) + (b + d)\epsilon$

이원수 $a + b\epsilon$ 을 순서쌍 $(a, b)$ 와 같이 나타낸다면, 덧셈은 단순히 성분별 합을 취하는 것과 같다.

$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (a + c) + (b + d)\epsilon$

덧셈에 대한 역원은 항상 존재하며, $a + b\epsilon$ 의 역원은 다음과 같다.

$-(a + b\epsilon) = (-a) + (-b)\epsilon$

곱셈

두 이원수 $a+b\epsilon$ 과 $c + d\epsilon$ 의 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

$(a + b\epsilon)(c + d\epsilon) = ac + (bc+ad)\epsilon$

아래와 같이 분배법칙을 적용하듯이 곱하고 정리한 결과와 같다.

$(a + b\epsilon)(c + d\epsilon) = ac + ad\epsilon + dc\epsilon + bd\epsilon^{2} = ac + (bc+ad)\epsilon$

순서쌍으로 표현하면 다음과 같다.

$(a, b)(c, d) = (ac, bc+ad)$

복소수의 곱셈과 비교하면 비슷한 꼴이지만 $-bd$ 가 없다는 점이 다르다.

$(a+bi)(c+di) = ac - bd + (bc+ad)i$

$a \ne 0$ 인 $a + b\epsilon$ 에 대해서 곱셈의 역원이 존재하며 다음과 같다.

$(a + b\epsilon)^{-1} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{b}{a^{2}}\epsilon$

실제로 계산해보면,

$(a + b\epsilon) \left( \dfrac{1}{a} - \dfrac{b}{a^{2}}\epsilon \right) = a\cdot\dfrac{1}{a} + \left(b\cdot\dfrac{1}{a} - a\cdot\dfrac{b}{a^{2}}\right)\epsilon = 1 + \left( \dfrac{b}{a} - \dfrac{b}{a} \right)\epsilon = 1$

이원수

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