이원수 환 위에서 정의되는 미분가능한 실함수
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빌드업
매끄러운 함수 f:R→R가 주어졌다고 하자. f의 a에서의 테일러 급수는 다음과 같다.
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+⋯=f(a)+f′(a)(x−a)+n=2∑∞n!f(n)(a)(x−a)n
위의 식은 실수공간 위에서 정의된 함수에 대해서 얻어진 것이지만, x 대신에 이원수 a+bϵ=(a,b)를 대입해보자.
f(a+bϵ)=f(a)+f′(a)(a+bϵ−a)+n=2∑∞n!f(n)(a)(a+bϵ−a)n=f(a)+f′(a)bϵ+n=2∑∞n!f(n)(a)bnϵn=f(a)+f′(a)bϵ=(f(a),bf′(a))
ϵ2=0이므로 세번째항 이후부터는 모두 0이다.
정의
미분가능한 함수 f:R→R이 주어졌다고 하자. 이원수 a+bϵ에 대해서, f(a+bϵ)를 다음과 같이 정의한다.
f(a+bϵ):=(f(a),bf′(a))(1)
설명
(1)에서 표기를 남용abuse of notation하였음을 주의하라. (1)의 좌변의 f는 사실 고정된 f에 대해서 다음과 같이 정의되는 함수이다.
Ff:{a+bϵ:a,b∈R}a+bϵ→{a+bϵ:a,b∈R}↦f(a)+bf′(a)ϵ=(f(a),bf′(a))
하지만 b=0인 경우를 생각해보면 Ff(a,0)=(f(a),0)이므로 f에 대해서 자연스럽게 확장된 것을 알 수 있다. 그래서 편의를 위해 f≡Ff로 표기했다는 것에 유의하자.
실수 x를 이원수 (x,1)로 확장시켜 덧셈이나 곱셈을 계산하면 두번째 성분에서 미분계수가 보존된다. 따라서 위의 정의는 미분계수를 보존하는 관점에서 굉장히 자연스럽게 정의되었다는 것을 알 수 있다.
합성 함수
합성 함수 f∘g에 대해서, f∘g(a+bϵ)을 다음과 같이 정의한다.
f∘g(a+bϵ):=f(g(a))+f′(g(a))g′(a)bϵ=(f(g(a)),bf′(g(a))g′(a))
첫번째 성분은 f∘g의 a에서의 함숫값이고, 두번째 성분은 미분계수라는 것을 알 수 있다.
유도
정의 (1)대로 계산하면 바로 얻는다.
f∘g(a+bϵ)=f(g(a+bϵ))=f(g(a)+g′(a)bϵ)=f(g(a))+f′(g(a))g′(a)bϵ=(f(g(a)),bf′(g(a))g′(a))
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