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자주 쓰는 이차함수의 정적분

공식

$$\int _{ \alpha }^{ \beta }{ (x-\alpha )(x-\beta )dx }=-\frac { { (\beta -\alpha ) } ^ { 3 } }{ 6 }$$

설명

문제를 풀다보면 생각보다 이런 꼴의 정적분을 할 일이 많다. 풀이를 빠르게 해주는데 외엔 전혀 쓸모가 없는 공식이고 유도도 그냥 계산밖에 없다. 모양만 딱 외워서 쓸 수 있도록 하자.

유도

$$\begin{align*} & \int _{ \alpha }^{ \beta }{ (x-\alpha )(x-\beta )dx } \\ =& \int _{ \alpha }^{ \beta }{ { {x }^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta }dx } \\ =& \frac { \beta^3-{ \alpha^3 } }{ 3 }-(\alpha +\beta )\frac { \beta^2-\alpha^2}{ 2 }+\alpha \beta (\beta -\alpha ) \\ =& \frac { 2\beta^3-2\alpha^3-3\beta^3-3\alpha \beta^2+3\alpha^2\beta +3\alpha^3+6\alpha \beta^2-6\alpha^2\beta }{ 6 } \\ =& \frac { 2\beta^3-3\beta^3+3\alpha^3-2\alpha^3+6\alpha \beta^2-3\alpha \beta^2+3\alpha^2\beta -6\alpha^2\beta }{ 6 } \\ =& \frac { - \beta^3 + \alpha^3 + 3\alpha \beta^2 + - 3 \alpha^2\beta }{ 6 } \\ &=-\frac { { (\beta -\alpha ) } ^ { 3 } }{ 6 } \end{align*}$$

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