📂정수론

디리클레 곱에 대한 인버스

정의 ¹

산술 함수 $f$ 에 대해 다음을 만족하는 산술 함수 $f^{-1}$ 가 유일하게 존재하면 $f^{-1}$ 를 $f$ 의 (디리클레) 인버스라 한다. $$ f \ast\ f^{-1} = f^{-1} \ast\ f = I $$

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• 여기서 $I$ 는 컨볼루션에 대한 아이덴터티 함수다.

정리

• [1]: 산술 함수 $f$ 가 $f(1) \ne 0$ 면 그 인버스 $f^{-1}$ 가 유일하게 존재하고, 다음과 같은 재귀함수로 나타난다. $$ f^{-1}(n) = \begin{cases} \displaystyle {{1} \over {f(1)}} &,n=1 \\ \displaystyle {{-1} \over {f(1)}} \sum_{d \mid n , d < n } f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1}(d) &, n > 1\end{cases} $$
• [2]: 두 산술함수 $f$, $g$ 에 대해 $f(1) \ne 0$, $g(1) \ne 0$ 이면 $$ (f \ast\ g)^{-1} = g^{-1} \ast\ f^{-1} = f^{-1} \ast\ g^{-1} $$

설명

대부분의 수학에서 다루는 역함수와 달리 디리클레 인버스는 사상에 대한 역사상이 아닌 대수적인 센스에서의 인버스를 말한다. 그렇다면 대수적 구조가 자연스럽게 떠오를 것이고, 그 존재성과 유일성 역시 궁금할 수밖에 없다. 다행스럽게도 인버스의 존재성은 아주 간단한 조건을 만족시키는 것으로 충분하다.

특히 승법적 산술 함수라면 다음과 같은 이유로 인버스의 존재성이 확실하게 보장된다. $$ f(1) = f(1 \cdot 1 ) = f(1) f(1) = 1 \ne 0 $$ 이러한 사실로부터 산술 함수의 집합이 아벨리안 그룹이 되기 위한 조건은 $f(1) \ne 0$ 가 된다.

증명

[1]

$\displaystyle I(n) = \left[ {{ 1 } \over { n }} \right]$ 이므로 $n=1$ 일 때 $\left( f \ast\ f^{-1} \right)(1) = I(1) = 1$ 이고, 따라서 $\displaystyle f^{-1}(1) = {{ 1 } \over { f(1) }}$ 이다. $f(1) \ne 0$ 이므로 $f^{-1}(1)$ 역시 유일하다. $n >1$ 이면 $\left( f \ast\ f^{-1} \right)(n) = I(n) = 0$ 이므로 $$ \sum_{d \mid n} f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1} (d) = 0 $$ $n=d$ 인 항만을 빼면 $$ f(1) f^{-1}(n) + \sum_{d \mid n \\ d < n} f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1} (d) = 0 $$ 정리하면 $$ f^{-1}(n) = {{-1} \over {f(1)}} \sum_{d \mid n \\ d < n } f \left( {{ n } \over { d }} \right) f^{-1}(d) $$ 앞서 $n=1$ 인 경우에 대해 $f^{-1}(1) \ne 0$ 이 유일하게 존재함을 보였으므로 수학적 귀납법에 따라 $f^{-1}(n)$ 역시 유일하게 존재한다.

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[2]

전략: 존재성만 증명하면 컨볼루션의 성질에 따라 직접 계산할 수 있다.

컨볼루션의 성질:

• (1) 결합 법칙: $$ \left( f \ast g \right) \ast k = f \ast (g \ast k) $$
• (2) 교환 법칙: $$ f \ast\ g = g \ast\ f $$

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위의 [1]에 따라 $f(1) \ne 0$ 이고 $g(1) \ne 0$ 이므로 $f^{-1}$ 와 $g^{-1}$ 은 유일하게 존재한다. 마찬가지로 $$ (f \ast\ g) (1) = \sum_{ d \mid 1} f(d)g(1/d) = f(1) g(1) \ne 0 $$ 이므로 $\left( f \ast g \right)^{-1}$ 역시 유일하게 존재한다. 그러면 컨볼루션의 결합법칙에 따라 $$ \begin{align*} (f \ast\ g) \ast ( g^{-1} \ast\ f^{-1} ) =& f \ast (g * g^{-1} ) \ast\ f^{-1} \\ =& f \ast\ I \ast\ f^{-1} \\ =& f * f^{-1} \\ =& I \end{align*} $$ $\left( f \ast g \right)^{-1}$ 은 유일하므로 $\left( f \ast g \right)^{-1} = g^{-1} \ast\ f^{-1}$ 이어야한다. 또한 컨볼루션의 교환법칙에 따라 $$ (f \ast\ g)^{-1} = g^{-1} \ast\ f^{-1} = f^{-1} \ast\ g^{-1} $$

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