📂동역학

동역학에서의 어트랙터

빌드업

공간 $X$ 와 함수 $f,g : X \to X$ 에 대해 벡터필드, 맵이 다음과 같이 표현된다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) \\ x \mapsto g(x) $$

$\phi (t, \cdot)$ 은 벡터필드 $\dot{x} = f(x)$ 의 플로우, $g^{n}$ 는 맵 $g$ 를 $n$ 번 취한 맵을 나타내도록 하자.

넌원더링의 정의¹

넌원더링^nonwandering한 점 $x_{0} \in X$ 이 다음의 조건을 만족하면 넌원더링 포인트라 하고, 그 집합을 넌원더링 셋이라 한다.

• (V): $x_{0}$ 의 모든 네이버후드 $U$ 와 $T > 0$ 에 대해서 다음을 만족하는 $t > T$ 가 존재한다. $$ \phi (t,U) \cap U \ne \emptyset $$
• (M): $x_{0}$ 의 모든 네이버후드 $U$ 와 $T > 0$ 에 대해서 다음을 만족하는 $n \in \mathbb{N}$ 가 존재한다. $$ g^{n} (U) \cap U \ne \emptyset $$

과거 시점까지 생각한다면 위의 정의는 각각 $|t| > T$, $n \in \mathbb{Z}^{ \ast }$ 으로 바뀐다.

넌원더링에 대한 설명

넌원더링 셋이란 말 그대로 떠나가더라도 언젠간 돌아오는 점들을 모아놓은 집합이 된다. 고정점과 피리어딕 오빗은 물론 애초에 떠나가지도 않으므로 자명한 넌원더링 셋이다. 넌원더링셋은 딱히 어디로 가야한다고는 하지 않지만 반드시 돌아오긴 해야한다는 약한 조건을 갖추고 있다.

어트랙팅의 정의²

닫힌 불변 집합 $A \subset \mathbb{R}^{n}$ 이 다음의 조건을 만족하는 $A$ 의 네이버후드 $U$ 를 가지면 어트랙팅 셋^{attracting set}이라 하고, 그 때의 오픈 셋 $U$ 을 트래핑 리전^{trapping region}이라 한다.

• (V): $\forall t \ge 0$ 에 대해 $\phi (t , U) \subset U$ 이고 $$ \bigcap_{t > 0} \phi (t, U) = A $$
• (M): $\forall n \ge 0$ 에 대해 $g^{n} (U) \subset U$ 이고 $$ \bigcap_{t > 0} g^{n} (U) = A $$

어트랙팅에 대한 설명

어트랙팅 셋의 정의를 보자마자 가장 먼저 알 수 있는 넌원더링 셋과의 차이점은 우선 트래핑 리전 $U$ 이라는 구체적인 바운드가 존재해서 그 곳을 벗어나지 않아야하며, 무한한 시간이 흐르고 난 뒤에는 정확히 $A$ 그 자체가 되어야 한다는 것이다. 이는 $A$ 가 $U$ 에 가두어진 대신 그 모든 것을 자신에게로 끌어당기는 것이므로 어트랙팅 셋이라는 명칭이 적절함을 알 수 있다.

어트랙터의 정의 ³

닫힌 불변집합 $A$ 가 모든 오픈 셋 $V_{1},V_{2} \subset A$ 에 대해 다음을 만족하면 위상적으로 추이적^{topologically transitive}이라 한다.

• (V): $\phi \left( t, V_{1} \right) \cap V_{2} \ne \emptyset$ 인 $t \in \mathbb{R}$ 이 존재한다.
• (M): $g^{n} \left( V_{1} \right) \cap V_{2} \ne \emptyset$ 인 $n \in \mathbb{Z}$ 이 존재한다.

어트랙팅 셋이 위상적으로 추이적이면 어트랙터라 한다.

어트랙터에 대한 설명

위상적 추이성의 정의에서 ‘모든’ 오픈 셋 $V_{1} , V_{2}$ 이라는 것은 이를 얼마든지 작게 잡아도 존재해야하므로, 사실 플로우나 맵이 충분한 시간만 주어진다면 정확하게 $V_{1}$ 을 $V_{2}$ 로 보낼 수 있는 것을 말한다. 그러나 실제로 두 점이 만나게 된다면 너무나 단순한 피리어딧 오빗일 뿐이고, 오픈 셋의 개념으로써 ‘스쳐지나간다’는 것을 표현하는 것이다. 이러한 위상적 추이성이 추가됨으로써 어트랙팅 셋은 트래핑 리전 $U$ 을 모으는 것만으론 부족했던 여러가지 성질을 확보할 수 있게 된다.