📂정수론

디리클레 곱에 대한 아이덴터티

정의 ¹

다음과 같이 정의된 산술 함수 $I$ 를 아이덴터티 함수라 한다. $$I(n) := \left[ {{ 1 } \over { n }} \right]$$

• [1] 아이덴터티 급수: 유닛 함수 $u$ 다. 다시 말해, $$\sum_{d \mid n}I(d) = u(n) = 1$$
• [2] 완전 승법성: 모든 $n , m \in \mathbb{N}$ 에 대해 $I (mn) = I(m) I(n)$
• [a] 컨볼루션에 대한 항등원: 모든 산술 함수 $f$ 에 대해 $$I \ast\ f = f \ast\ I = f$$

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• $\left[ x \right] = \lceil x \rceil$ 는 바닥 함수^{floor function} 로 불리며 $x$ 보다 작거나 같은 값 중 가장 큰 정수를 나타낸다.

설명

$$\begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ I(n) & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sum_{d \mid n} I(d) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}$$ 대부분의 수학에서 항등 함수라는 이름은 $i(x) = x$ 와 같이 정의역의 원소가 그 스스로에게 매핑되는 함수에게 붙지만, 적어도 해석적 정수론에서는 놈 $N (n) = n$ 으로 불린다. $I$ 는 보다시피 컨볼루션 $\ast$ 에 대해 항상 존재해주는 항등원의 역할을 하기 때문에 아이덴터티라는 이름으로 불릴 수 있게 되었다.

증명

[1]

$\displaystyle I(n) = \left[ {{ 1 } \over { n }} \right] = \begin{cases} 1 & , n=1 \\ 0 &, n>1 \end{cases}$ 이다. 따라서 $$\sum_{d \mid n}I(d) = 1 + 0 + \cdots = 1$$

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[2]

• Case 1. $m = n = 1$ $$I ( mn ) = I(1) = 1 = 1 \cdot 1 = I(1) I(1) = I(m) I(n)$$
• Case 2. $m = 1 \land n > 1$ $$I(mn) = I (n) = 1 \cdot I (n) = I(m) I(n)$$
• Case 3. $m > 1 \land n = 1$ $$I(mn) = I (m) = I(m) \cdot 1 = I(m) I(n)$$
• Case 4. $m > 1 \land n > 1$ $$I(mn) = 0 = 0 \cdot 0 = I(m) I(n)$$

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[a]

$d$ 는 $n$ 의 약수이므로 $d \ne n$ 인 경우에서는 $\displaystyle \left[ {{ d } \over { n }} \right] = 0$ 이고 $$(f \ast\ I)(n) = \sum_{d \mid n} f(d) I \left( {{ n } \over { d }} \right) = \sum_{d \mid n} f(d) \left[ {{ d } \over { n }} \right] = f(n)$$ 산술 함수의 컨볼루션의 교환 법칙에 따라 $f \ast\ I = I \ast\ f = f$

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