📂정수론

산술 함수의 디리클레 곱

정의 ¹

두 산술 함수 $f$, $g$ 에 대해 다음을 만족시키는 산술 함수 $h$ 를 $f$, $g$ 의 디리클레 곱^{dirichlet product}이라고 부른다. $$ h(n) = \sum_{d \mid n} f(d) g \left( {{ n } \over { d }} \right) $$ 디리클레 곱은 $h (n) = \left( f \ast g \right) (n) $ 혹은 $h = f \ast g$ 와 같이 나타낼 수 있다.

설명

디리클레 곱은 그 모양에서 짐작할 수 있듯 합성곱[컨볼루션]Convolution이라고도 불린다. 이러한 정의에서 산술 함수를 단지 $a_{d}$, $b_{n/d}$ 로 표기하는 것은 몹시 불편할 것임을 짐작할 수 있다.

컨볼루션 $\ast$ 에 대해 산술 함수들은 다음과 같이 기본적인 대수적 성질들을 가진다. 해석적 정수론에 관심을 가질 정도라면 당연히 산술 함수들의 집합 $A$ 에 이항 연산 $\ast$ 을 줌으로써 얻는 아벨리안 그룹 $(A,*)$ 를 떠올릴 수 있을 것이다. 안타깝게도 정확한 답은 ‘아니다’지만, 조금 더 적절한 조건을 줌으로써 아벨리안 그룹을 이룰 수도 있다.

한편 컨볼루션은 곱해지는 두 함수 중 하나가 산술함수가 아니어도 되게끔 일반화될 수 있다.

기초 성질

• [1] 결합 법칙: $$ \left( f \ast g \right) \ast k = f \ast (g \ast k) $$
• [2] 교환 법칙: $$ f \ast g = g \ast f $$

증명

[1]

$A = f \ast g$, $B := (g \ast k)$ 라고 하면 $$ \begin{align*} \left( f \ast g \right) \ast k =& A \ast k \\ =& \sum_{cm = n} A(m) k(c) \\ =& \sum_{cm=n} \left[ \sum_{ab=m} f(a) g(b) \right] k(c) \\ =& \sum_{abc=n} f(a) g(b) k(c) \\ =& \sum_{am=n} f(a) \left[ \sum_{bc=m} g(b) k(c) \right] \\ =& \sum_{am=n} f(a) B(m) \\ =& f \ast B \\ =& f \ast (g \ast k) \end{align*} $$

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[2]

$$ \begin{align*} \left( f \ast g \right)(n) =& \sum_{d \mid n} f(d) g \left( {{ n } \over { d }} \right) \\ =& \sum_{ab=n} f(a) g(b) \\ =& \sum_{ab=n} g(b) f(a) \\ =& \sum_{d \mid n} g(d) f\left( {{ n } \over { d }} \right) \\ =& (g \ast f)(n) \end{align*} $$

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일반화

• 일반화된 디리클레 곱