감마함수 유도 📂함수

감마함수 유도

음이 아닌 정수에 대한 감마함수

$\alpha >0$에 대해서 $$ \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x} dx=\left[-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha x}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{\alpha} $$ 위 식의 양변을 $\alpha$에 대해서 미분하자. 그러면 라이프니츠 적분 규칙에 의해 좌변의 미분이 적분기호 안으로 들어갈 수 있으므로 $$ \begin{align*} &&\int_{0}^\infty -xe^{-\alpha x}dx&=-\frac{1}{\alpha^2} \\ \implies && \int_{0}^\infty xe^{-\alpha x}dx &= \frac{1}{\alpha ^2} \end{align*} $$ 계속 미분해보면 $$ \begin{align*} \int_{0}^\infty x^2e^{-\alpha x}dx&=\frac{2}{\alpha^3} \\ \int_{0}^\infty x^3e^{-\alpha x}dx&=\frac{3\cdot 2}{\alpha^4} \\ \int_{0}^\infty x^4e^{-\alpha x}dx &=\frac{4\cdot 3\cdot 2}{\alpha^5} \\ &\vdots \\ \int_{0}^\infty x^ne^{-\alpha x}dx&=\frac{n!}{\alpha^{n+1}} \end{align*} $$ 여기서 $\alpha =1$이라고 두면 $$ \int_{0}^\infty x^n e^{-x}dx=n! \quad n=1,2,3,\cdots $$ 위 식으로부터 $0!=1$인 이유도 자연스럽게 설명할 수 있다. $n=0$이라고 하면 $$ 0!=\int_{0}^\infty e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_{0}^\infty=1 $$ 이므로 $0!:=1$이라고 자연스럽게 정의할 수 있다.

감마함수의 재귀 관계^{recurrence relation of Gamma function}

$n$이 정수가 아니어도 위 적분값으로 함수를 정의할 수 있다. 이를 감마함수라 부른다. 보통 정수일 땐 $n$으로 쓰고 그렇지 않으면 $p$라고 쓴다. $$ \Gamma (p)=\int_{0}^\infty x^{p-1}e^{-x}dx,\quad p>0 \tag{1} $$ 범위가 $p>0$인 이유는 해당 범위에서만 이상적분이 수렴하기 때문이다. $p\le 0$일 때 위 적분은 발산하므로 $\Gamma (p)$를 정의하는데 사용할 수 없다. $p\le 0$일 때 감마함수를 정의하는 방법은 좀 더 아래에서 소개한다. 또한 $\Gamma (p)=(p-1)!$이지 $\Gamma (p)= p!$이 아님에 주의하라.$p$가 정수이면 감마함수는 팩토리얼과 같게되므로 $\Gamma (n+1)=n \Gamma (n)$이 성립하는 것은 자명하다. 그런데 이는 $p$가 정수가 아닐 때도 성립한다. 우선 $(1)$에서 $p$대신 $p+1$을 대입하면 $$ \Gamma (p+1)=\int_{0}^\infty x^pe^{-x}dx,\quad p>-1, \tag{2} $$ $(2)$의 우변을 부분적분하면 $$ \begin{align*} \int_{0}^{\infty} x^{p}e^{-x}dx&= \int_{0}^{\infty} (-x^{p})(-e^{-x})dx \\ &= \left[-x^{p}e^{-x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} px^{p-1}e^{-x}dx \\ &= p\int_{0}^{\infty} x^{p-1}e^{-x}dx \\ &=p\Gamma (p) \end{align*} $$ 따라서 위 결과와 $(2)$를 종합하면 $$ \Gamma (p+1)=p\Gamma (p),\quad p>-1 \tag{3} $$ $(3)$을 감마 함수에 대한 재귀관계라 한다. 이를 통해 감마함수가 포함된 식을 간단하게 표현할 수 있다. 예를 들어 $$ \frac{\Gamma (1/4)}{\Gamma (9/4)}=\frac{\Gamma (1/4)}{\frac{5}{4}\Gamma (5/4)}=\frac{\Gamma (1/4)}{\frac{5}{4}\frac{1}{4}\Gamma (1/4)}=\frac{16}{5} $$

음수까지 확장한 감마함수

재귀관계를 이용해 음수에 대한 감마함수를 정의할 수 있다. $(3)$을 잘 보면 우변의 감마함수에 $-1<p<0$이 들어갈 수 있음을 알 수 있다. 따라서 이를 이용해 $p<0$에 대한 감마함수는 아래와 같이 정의한다. $$ \Gamma (p)=\frac{1}{p}\Gamma (p+1),\quad p<0 $$ 예를 들어 $\Gamma (-3/5)=-\frac{5}{3}\Gamma (2/5 )$이고, $\Gamma (-8/5)=-\frac{5}{8}\Gamma (-3/5)=\frac{25}{24}\Gamma (2/5)$이다. $p=0$일 때는 발산함을 아래와 같이 보일 수 있다. $\Gamma (1)=0!=1$이므로 $$ \lim \limits_{p \rightarrow 0} \Gamma (p)=\lim \limits_{p \rightarrow 0} \frac{\Gamma (p+1)}{p}=\infty $$