라이프니츠 적분 규칙
정리
$f(x,t)$와 $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)$가 연속이라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.
$$ \frac{d}{dx} \int_{a}^b f(x,t)dt = \int_{a}^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt $$
설명
미분과 적분의 순서를 바꿀 수 있으므로 유용함은 말할 것도 없다.
이 말고도 미분과 적분에 관련하여 라이프니츠의 이름이 붙은 정리 혹은 공식들이 많다.
증명
연속이면 적분가능하므로 $u$를 다음과 같이 두자.
$$ u(x):=\int_{a}^b f(x,t)dt $$
그러면 다음이 성립한다.
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{ u(x+h)-u(x)}{h} &= \frac{\int_{a}^{b} f(x+h,t)dt -\int_{a}^{b}f(x,t)dt}{h} \\ &= \frac{ \int_{a}^{b} \big[f(x+h,t)-f(x,t) \big] dt}{h} \\ &= \int_{a}^{b} \frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}dt \end{aligned} \end{equation} $$
또한 고정된 $y$에 대하여 $f(x,y)$에 평균값 정리를 적용하면 아래의 식을 만족하는 $c\in[x,x+h]$가 존재한다.
$$ \frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(c,t) $$
양변을 $t$에 대해서 정적분하면, $(1)$에 의해서 다음이 성립한다.
$$ \frac{u(x+h)-u(x)}{h}=\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(c,t) dt $$
이제 임의의 $\epsilon >0$에 대해서 $\epsilon_{0}=\dfrac{\epsilon}{b-a}$라고 하자. $[x,x+h]\times [a,b]$는 컴팩트이고 가정에 의해 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$는 컴팩트 구간 위에서 연속이므로 균등 연속이다. 그러면 충분히 작은 $h$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x+h,t)-\frac{\partial f}{\partial x} (x,t)\right| < \epsilon_{0} $$
또한 $c\in[x,x+h]$이므로 균등 연속의 정의에 의해 다음이 성립한다.
$$ \left| \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x} (x,t)\right| < \epsilon_{0} $$
이제 계산해보면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} & \left| \lim \limits_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h,t)-u(x,t)}{h} - \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt\right| \\ =&\ \left| \lim \limits_{h\rightarrow 0}\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(c,t) dt - \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt\right| \\ =&\ \left| \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b}\left[ \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right] dt\right| \\ =&\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}\left| \int_{a}^{b}\left[ \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right] dt\right| \\ \le& \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b}\left| \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right| dt \\ \le& \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b} \epsilon_{0}dt \\ =&\ \lim \limits_{h \rightarrow 0} (b-a)\epsilon_{0} \\ =&\ \epsilon \end{align*} $$
위 식은 임의의 $\epsilon>0$에 대해서 성립하므로 다음을 얻는다.
$$ \lim \limits_{h\rightarrow 0} \frac{u(x+h,t)-u(x,t)}{h}=\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt $$
또한 $\displaystyle u(x):=\int_{a}^b f(x,t)dt$이므로 다음이 성립한다.
$$ \frac{d}{dx} \int_{a}^b f(x,t)dt = \int_{a}^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt $$
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