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라이프니츠 적분 규칙 📂해석개론

라이프니츠 적분 규칙

정리

f(x,t)f(x,t)와 ∂f∂x(x,t)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)가 연속이라고 하자. 그러면 아래의 식이 성립한다.

ddx∫abf(x,t)dt=∫ab∂f∂x(x,t)dt \frac{d}{dx} \int_{a}^b f(x,t)dt = \int_{a}^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt

설명

미분과 적분의 순서를 바꿀 수 있으므로 유용함은 말할 것도 없다.

이 말고도 미분과 적분에 관련하여 라이프니츠의 이름이 붙은 정리 혹은 공식들이 많다.

증명

연속이면 적분가능하므로 uu를 다음과 같이 두자.

u(x):=∫abf(x,t)dt u(x):=\int_{a}^b f(x,t)dt

그러면 다음이 성립한다.

u(x+h)−u(x)h=∫abf(x+h,t)dt−∫abf(x,t)dth=∫ab[f(x+h,t)−f(x,t)]dth=∫abf(x+h,t)−f(x,t)hdt \begin{equation} \begin{aligned} \frac{ u(x+h)-u(x)}{h} &= \frac{\int_{a}^{b} f(x+h,t)dt -\int_{a}^{b}f(x,t)dt}{h} \\ &= \frac{ \int_{a}^{b} \big[f(x+h,t)-f(x,t) \big] dt}{h} \\ &= \int_{a}^{b} \frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}dt \end{aligned} \end{equation}

또한 고정된 yy에 대하여 f(x,y)f(x,y)에 평균값 정리를 적용하면 아래의 식을 만족하는 c∈[x,x+h]c\in[x,x+h]가 존재한다.

f(x+h,t)−f(x,t)h=∂f∂x(c,t) \frac{f(x+h,t)-f(x,t)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}(c,t)

양변을 tt에 대해서 정적분하면, (1)(1)에 의해서 다음이 성립한다.

u(x+h)−u(x)h=∫ab∂f∂x(c,t)dt \frac{u(x+h)-u(x)}{h}=\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(c,t) dt

이제 임의의 ϵ>0\epsilon >0에 대해서 ϵ0=ϵb−a\epsilon_{0}=\dfrac{\epsilon}{b-a}라고 하자. [x,x+h]×[a,b][x,x+h]\times [a,b]는 컴팩트이고 가정에 의해 ∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x}는 컴팩트 구간 위에서 연속이므로 균등 연속이다. 그러면 충분히 작은 hh에 대해서 다음이 성립한다.

∣∂f∂x(x+h,t)−∂f∂x(x,t)∣<ϵ0 \left| \frac{\partial f}{\partial x}(x+h,t)-\frac{\partial f}{\partial x} (x,t)\right| < \epsilon_{0}

또한 c∈[x,x+h]c\in[x,x+h]이므로 균등 연속의 정의에 의해 다음이 성립한다.

∣∂f∂x(c,t)−∂f∂x(x,t)∣<ϵ0 \left| \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x} (x,t)\right| < \epsilon_{0}

이제 계산해보면 다음을 얻는다.

∣lim⁡h→0u(x+h,t)−u(x,t)h−∫ab∂f∂x(x,t)dt∣= ∣lim⁡h→0∫ab∂f∂x(c,t)dt−∫ab∂f∂x(x,t)dt∣= ∣lim⁡h→0∫ab[∂f∂x(c,t)−∂f∂x(x,t)]dt∣= lim⁡h→0∣∫ab[∂f∂x(c,t)−∂f∂x(x,t)]dt∣≤lim⁡h→0∫ab∣∂f∂x(c,t)−∂f∂x(x,t)∣dt≤lim⁡h→0∫abϵ0dt= lim⁡h→0(b−a)ϵ0= ϵ \begin{align*} & \left| \lim \limits_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h,t)-u(x,t)}{h} - \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt\right| \\ =&\ \left| \lim \limits_{h\rightarrow 0}\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(c,t) dt - \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt\right| \\ =&\ \left| \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b}\left[ \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right] dt\right| \\ =&\ \lim \limits_{h \rightarrow 0}\left| \int_{a}^{b}\left[ \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right] dt\right| \\ \le& \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b}\left| \frac{\partial f}{\partial x}(c,t)-\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right| dt \\ \le& \lim \limits_{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b} \epsilon_{0}dt \\ =&\ \lim \limits_{h \rightarrow 0} (b-a)\epsilon_{0} \\ =&\ \epsilon \end{align*}

위 식은 임의의 ϵ>0\epsilon>0에 대해서 성립하므로 다음을 얻는다.

lim⁡h→0u(x+h,t)−u(x,t)h=∫ab∂f∂x(x,t)dt \lim \limits_{h\rightarrow 0} \frac{u(x+h,t)-u(x,t)}{h}=\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt

또한 u(x):=∫abf(x,t)dt\displaystyle u(x):=\int_{a}^b f(x,t)dt이므로 다음이 성립한다.

ddx∫abf(x,t)dt=∫ab∂f∂x(x,t)dt \frac{d}{dx} \int_{a}^b f(x,t)dt = \int_{a}^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt

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