📂동역학

피리어드 더블링 바이퍼케이션

정의

쉬운 정의

피리어드 더블링 바이퍼케이션^{period-doubling bifurcation}은 동역학계의 파라미터 변화에 따라 피리어딕 오빗의 주기가 2배로 늘거나 줄어드는 바이퍼케이션이다.

어려운 정의

$$ \dot{x} \mapsto f \left( x , r \right) \qquad , x \in \mathbb{R}^{n} , r \in \mathbb{R}^{1} $$ 주어진 동역학계의 $f$ 가 $x$ 와 $\alpha$ 에 대해 스무스하다고 하자. $\bar{x}$ 가 이 시스템의 하이퍼볼릭한 고정점이라고 할 때, 그 자코비안 행렬 $D f \left( \bar{x} \right)$ 의 고유값 중 하나를 $\lambda_{k}$ 이라 하자. $\lambda_{k} = -1$ 이 나타나거나 사라지는 것에 연관된 바이퍼케이션을 피리어드 더블링 바이퍼케이션이라고 한다¹.

다이어그램

설명

피리어드 더블링 바이퍼케이션은 플립 바이퍼케이션^{flip bifurcation}이라고도 불리며, 로지스틱 패밀리 등의 예제에서 바로 이어 나오는 바이퍼케이션 다이어그램을 통해 가장 먼저 접하게 되는 현상이기도 하다.

특히 주기가 두 배로 늘다가 무한히 많은 시퀀스를 이루게 되는 것을 피리어드 더블링 캐스케이드^{period-doubling cascade}라 부르며¹, 혼돈이라는 개념과 직접적으로 연결되기도 한다. 이렇게 혼돈에 가까워지는 파라미터의 등장 주기는 어떠한 상수로 수렴하는데, 이를 파이겐바움 보편성이라 한다.