돈스커의 정리
정리
$\left\{ \xi_i \right\}_{i \in \mathbb{N}}$ 이 $(0,1)$ 에서 정의된 확률 과정이라고 하자. 함수 공간 $C[0,1]$ 에서 확률 함수 $X_{n}$ 가 다음과 같이 정의되어 있다고 하자. $$ X_{n}:= {{ 1 } \over { \sqrt{n} }} \sum_{i=1}^{\lfloor nt \rfloor} \xi_{i} + \left( nt - \lfloor nt \rfloor \right) {{ 1 } \over { \sqrt{n} }} \xi_{\lfloor nt \rfloor + 1} $$ $X_{n}$ 은 $n \to \infty$ 일 때 위너 프로세스 $W$ 로 분포 수렴한다.
- $C[0,1]$ 은 정의역이 $[0,1]$ 이고 공역이 $\mathbb{R}$ 인 연속함수들의 공간이다.
- $\lfloor \cdot \rfloor$ 은 바닥 함수Floor Function로, $\cdot$ 에서 소수점을 떼어낸 값을 나타낸다. 한국에서는 고등학교에서 가우스 함수 $[ \cdot ]$ 으로 널리 알려져있다.
설명
돈스커의 정리donskers theorem는 돈스커의 불변 원리, 함수 중심 극한 정리 등으로도 불린다. 위너 프로세스가 확률 과정에서의 정규분포같은 느낌이므로 함수인 확률 원소, 즉 확률 과정이 위너 프로세스로 분포수렴한다는 것은 Functional Central Limit Theorem이라 불릴 자격이 충분하다.