타이트 확률 과정
정의
확률 공간 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ 에서 확률 과정 $\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 정의되어 있다고 하자. 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$\displaystyle \inf_{n \in \mathbb{N}} P\left( X_{n} \in K \right) > 1 - \varepsilon$$ 를 만족시키는 컴팩트 셋 $K \subset \Omega$ 가 존재하면 $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 타이트tight하다고 한다.
설명
수리통계학에서는 확률 유계에 해당하는 개념이다. 타이트는 분포 수렴과 관련해서 다음과 같이 중요한 성질들을 여럿 가진다.
기초 성질
$X$, $\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 각각 거리 공간 $(S, d)$ 에서 정의된 확률 원소, 확률 과정이고 $\mathscr{H}: = C(S, \mathbb{R})$ 이라 하자.
- [1]: $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 타이트하면 프리컴팩트하다.
- [2]: $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 타이트하면 모든 $h \in \mathscr{H}$ 에 대해 $h(X_{n}) \overset{D}{\to} h(X)$ 면 $X_{n} \overset{D}{\to} X$
$X$, $\left\{ X_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 각각 $C[0,1]$ 에서 정의된 확률 원소, 확률 과정이라고 하자.
- [3]: $X$ 가 $S = C[0,1]$ 의 확률 원소라고 하자. $[0,1]$ 의 모든 유한부분집합 $A$ 의 점 $a$ 들에서 $X_{n}(a) \overset{W}{\to} X(a)$ 이고 $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 타이트하면 $X_{n} \overset{D}{\to} X $
- [4]: $\left\{ X_{n} \right\}$ 이 타이트인 것은 (i) 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$ \lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} P \left( \sup_{|s-t| < \delta} \left| X_{n}(s) - X_{n}(t) \right| \ge \varepsilon \right) = 0 $$ 이고 (ii) $\left\{ X_{n} (0) \right\}$ 이 타이트인 것과 동치다.
- $C[0,1]$ 은 정의역이 $[0,1]$ 이고 공역이 $\mathbb{R}$ 인 연속함수들의 공간이다.
- $C(S,\mathbb{R})$ 는 정의역이 $S$ 고 공역이 $\mathbb{R}$ 인 연속 함수들의 공간이다.