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확률론의 혼성 정리 증명 📂확률론

확률론의 혼성 정리 증명

정리

공간 SS 가 거리 공간 (S,ρ)( S , \rho) 이면서 가측 공간 (S,B(S))(S,\mathcal{B}(S)) 이라고 하자.

다음은 모두 동치다.

  • (1): Pn→WPP_{n} \overset{W}{\to} P
  • (2): 모든 바운디드, 균등연속함수 ff 에 대해 ∫SfdPn→∫SfdP\displaystyle \int_{S} f dP_{n} \to \int_{S}f d P
  • (3): 모든 클로즈드 셋 FF 에 대해 lim sup⁡n→∞Pn(F)≤P(F)\displaystyle \limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \le P(F)
  • (4): 모든 오픈 셋 GG 에 대해 P(G)≤lim inf⁡n→∞Pn(G)\displaystyle P(G) \le \liminf_{n\to\infty} P_{n}(G)
  • (5): P(∂A)=0P(\partial A) = 0 인 모든 AA 에 대해 lim⁡n→∞Pn(A)=P(A)\displaystyle \lim_{n\to\infty} P_{n}(A) = P(A)

설명

Portmanteau는 ‘여러가지로 이루어진’ 혹은 ‘혼성어’라는 뜻을 가진 영단어다. 이것을 바로 혼성이라고 순화하는 것은 무척 매끄럽지 못한데, 관습적으로는 [폴ㅌ맨퉈] 비슷하게 읽고 그것만으로는 뜻을 짐작하기 어려워 부득이하게 혼성 정리라고 번역했다. 혼성 정리는 사실 확률 측도가 아니라도 유한 측도 μ\mu 에 대해 일반화할 수 있으며, 측도의 약한 수렴에 대한 동치조건을 제시해주므로 굉장히 중요한 정리다.

증명

전략: 증명을 위해 다음의 노테이션을 소개한다. 자세한 설명을 읽어두는 것을 추천한다.

  • 원소 x∈Sx \in S 와 부분집합 A⊂SA \subset S, 그리고 δ>0\delta >0 에 대해 ρ(x,A):=inf⁡{ρ(x,a):a∈A} \rho (x, A) := \inf \left\{ \rho (x,a) : a \in A \right\}

Aδ:={x∈S:ρ(x,A)<δ} A^{\delta} := \left\{ x \in S : \rho (x, A) < \delta \right\}

  • 어떤 픽스된 F⊂SF \subset S 에 대해 fδ(x):=(1−ρ(x,F)/δ)+={1,x∈F1−ρ(x,F)/δ,x∉F∧x∈Fδ0,x∉Fδ \begin{align*} f_{\delta}(x) :=& \left( 1 - \rho (x, F) / \delta \right)^{+} \\ =& \begin{cases} 1 &, x \in F \\ 1 - \rho (x,F)/\delta &, x \notin F \land x \in F^{\delta} \\ 0 &, x \notin F^{\delta} \end{cases} \end{align*}

Part 1. (1)  ⟹  (2)(1) \implies (2)

약한 수렴의 정의에 따라 자명하다.

Part 2. (2)  ⟹  (3)(2) \implies (3)

fε(x):=(1−ρ(x,F)/ε)+f_{\varepsilon}(x) : = \left( 1 - \rho ( x, F) / \varepsilon \right)^{+} fεf_{\varepsilon} 를 위와 같이 정의하면 fεf_{\varepsilon} 는 바운디드고 균등연속이다. 또한 모든 ε>0\varepsilon > 0 에 대해 IF(x)≤fε(x)≤IFε(x)I_{F}(x) \le f_{\varepsilon}(x) \le I_{F}^{\varepsilon} (x) 이므로 ∫SIFdPn≤∫SfεdPn≤∫IFεdPn \int_{S} I_{F} dP_{n} \le \int_{S} f_{\varepsilon} dP_{n} \le \int I_{F^{\varepsilon}} dP_{n} 여기서 Pn(F)=∫FdPn=∫S1FdPn\displaystyle P_{n}(F) = \int_{F} dP_{n} = \int_{S} 1_{F} dP_{n} 이므로 Pn(F)≤∫SfεdPn P_{n}(F) \le \int_{S} f_{\varepsilon} dP_{n} 양변에 lim sup⁡n→∞\displaystyle \limsup_{n \to \infty} 를 취하면 fεf_{\varepsilon} 가 바운디드고 균등연속이었으므로 (2)(2) 에 따라 lim sup⁡n→∞Pn(F)≤lim sup⁡n→∞∫SfεdPn=∫SfεdP≤P(Fε) \begin{align*} \displaystyle \limsup_{n \to \infty} P_{n}(F) \le & \limsup_{n \to \infty} \int_{S} f_{\varepsilon} dP_{n} \\ =& \int_{S} f_{\varepsilon} dP \\ \le & P\left( F^{\varepsilon} \right) \end{align*} 양변에 lim⁡ε→0\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0} 를 취하면 측도의 위로부터의 연속성에 따라 lim sup⁡n→∞Pn(F)=lim⁡ε→0lim sup⁡n→∞Pn(F)≤lim⁡ε→0P(Fε)=P(F‾) \begin{align*} \limsup_{n \to \infty} P_{n}(F) =& \lim_{\varepsilon \to 0} \limsup_{n \to \infty} P_{n}(F) \\ \le & \lim_{\varepsilon \to 0} P \left( F^{\varepsilon} \right) \\ =& P\left( \overline{F} \right) \end{align*} FF 가 닫힌 집합이면 F‾=F\overline{F} = F 이므로 lim sup⁡n→∞Pn(F)≤P(F) \limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \le P(F)

Part 3. (3)  ⟺  (4)(3) \iff (4)

G:=FcG:= F^{c} 로 두면 GG 는 오픈 셋이고 lim sup⁡n→∞Pn(F)≤P(F)  ⟺  −P(F)≤−lim sup⁡n→∞Pn(F)  ⟺  1−P(F)≤1−lim sup⁡n→∞Pn(F)  ⟺  P(G)≤lim inf⁡n→∞[1−Pn(F)]  ⟺  P(G)≤lim inf⁡n→∞Pn(G) \begin{align*} & \displaystyle \limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \le P(F) \\ \iff & -P(F) \le -\limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \\ \iff & 1 -P(F) \le 1 -\limsup_{n\to\infty} P_{n}(F) \\ \iff & P(G) \le \liminf_{n\to\infty} \left[ 1 -P_{n}(F) \right] \\ \iff & P(G) \le \liminf_{n\to\infty} P_{n}(G) \end{align*}

Part 4. (3),(4)  ⟹  (5)(3),(4) \implies (5)

인테리어, 클로져, 바운더리에 대해 간략하게 리뷰해보자.

A∘⊂A⊂A‾A^{\circ} \subset A \subset \overline{A}여기서 인테리어 A∘A^{\circ} 는 AA 의 가장 큰 열린 부분집합이고, 클로져 A‾\overline{A} 는 AA 의 가장 작은 닫힌 초집합이다. 또한 AA 의 바운더리 ∂A=A‾∖A∘\partial A = \overline{A} \setminus A^{\circ} 는 당연히 A∘A^{\circ} 과는 디스조인트하다.

(3)(3) 에 따라 lim sup⁡n→∞Pn(A)≤lim sup⁡n→∞Pn(A‾)≤P(A‾) \limsup_{n \to \infty} P_{n}(A) \le \limsup_{n \to \infty} P_{n}\left( \overline{A} \right) \le P \left( \overline{A} \right) (4)(4) 에 따라 P(A∘)≤lim inf⁡n→∞Pn(A∘)≤lim inf⁡n→∞Pn(A) P \left( A^{\circ} \right) \le \liminf_{n \to \infty} P_{n} \left( A^{\circ} \right) \le \liminf_{n \to \infty} P_{n}(A) P(∂A)=0P \left( \partial A \right) = 0 이므로 P(A∘)=P(A)=P(A‾)P \left( A^{\circ} \right) = P(A) = P \left( \overline{A} \right) 이고 P(A)=P(A∘)≤lim inf⁡n→∞Pn(A)≤lim sup⁡n→∞Pn(A)≤P(A‾)=P(A) P(A) = P \left( A^{\circ} \right) \le \liminf_{n \to \infty} P_{n}(A) \le \limsup_{n \to \infty} P_{n}(A) \le P \left( \overline{A} \right) = P(A) 따라서 lim⁡n→∞Pn(A)=P(A) \lim_{n \to \infty} P_{n}(A) = P(A)

Part 5. (5)  ⟹  (1)(5) \implies (1)

g∈Cb(S)g \in C_{b}(S), 즉 gg 가 SS 에서 정의된 바운디드고 연속인 함수라고 하자. A∈B(S)A \in \mathcal{B}(S) 에 대해 ν\nu 를 다음과 같이 정의하자. ν(A):=P(g−1(A)) \nu (A) := P \left( g^{-1} \left( A \right) \right) gg 는 바운디드이므로 모든 x∈Sx \in S 에 대해 a≤g(x)≤ba \le g(x) \le b 를 만족하는 aa, bb 를 잡을 수 있다. 여기서 ν\nu 는 그 정의에 따라 유한한 함수값을 가진다. 여기서 D:={α:ν({α})=0} D := \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) = 0 \right\} 라고 두면 Dc={α:ν({α})>0}=⋃n=1∞{α:ν({α})>1n} D^{c} = \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > 0 \right\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > {{1} \over {n}} \right\} 를 생각해보자. 자연수 n∈Nn \in \mathbb{N} 이 픽스되면 {α:ν({α})>1n} \left\{ \alpha : \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > {{1} \over {n}} \right\} 는 ν(R)<∞\nu ( \mathbb{R}) < \infty 이므로 유한 집합이어야한다. 만약 유한 집합이 아니라면 ν({α})>1n\displaystyle \nu ( \left\{ \alpha \right\} ) > {{ 1 } \over { n }} 을 만족하는 α\alpha 가 무한히 많다는 의미이므로 ν(R)<∞\nu ( \mathbb{R}) < \infty 에 위배된다. 이에 따라 DcD^{c} 는 유한 집합들의 가산 합집합이고, 따라서 ν({α})>0\nu \left( \left\{ \alpha \right\} \right) > 0 을 만족시키는 α∈[a,b]\alpha \in [a,b] 들은 많아도 카운터블하게 많이 존재한다.

이제 다음의 세 가지 조건을 만족하는 t0,⋯ ,tmt_{0} , \cdots , t_{m} 을 잡을 수 있다:

  • (i): a=t0<t1<⋯<tm=ba = t_{0} < t_{1} < \cdots < t_{m} = b
  • (ii): ν({ti})=0\nu \left( \left\{ t_{i} \right\} \right) = 0
  • (iii): ti−ti−1<εt_{i} - t_{i-1} < \varepsilon

이에 대해 Ai=g−1([ti−1,ti))A_{i} = g^{-1} \left( [ t_{i-1} , t_{i} ) \right) 와 같이 잡으면 Ai∈B(S)A_{i} \in \mathcal{B}(S) 이고 ⋃i=1mAi=S\displaystyle \bigcup_{i=1}^{m} A_{i} = S 이다. 한편 연속함수의 프리이미지는 열림과 닫힘을 보존하므로 g−1((ti−1,ti))g^{-1} \left( ( t_{i-1}, t_{i}) \right) 는 SS 에서 열린 집합, g−1([ti−1,ti])g^{-1} \left( [ t_{i-1}, t_{i}] \right) 는 SS 에서 닫힌 집합이다. 또한 AiA_{i} 의 인테리어 Ai∘A_{i}^{\circ} 는 AiA_{i} 의 가장 큰 열린 부분집합이고, 클로져 Ai‾\overline{A_{i}} 는 AiA_{i} 의 가장 작은 닫힌 초집합이므로 g−1((ti−1,ti))⊂Ai∘⊂Ai⊂Ai‾⊂g−1([ti−1,ti]) g^{-1} \left( ( t_{i-1}, t_{i}) \right) \subset A_{i}^{\circ} \subset A_{i} \subset \overline{A_{i}} \subset g^{-1} \left( [ t_{i-1}, t_{i}] \right) 한편 조건 (ii)에서 ν({ti})=0\nu \left( \left\{ t_{i} \right\} \right) = 0 이었으므로 ν([ti−1,ti])=ν((ti−1,ti))\nu \left( [t_{i-1} , t_{i}] \right) = \nu \left( (t_{i-1}, t_{i}) \right) 다시 말해 P(Ai∘)=P(Ai)=P(Ai‾) P \left( A_{i}^{\circ} \right) = P \left( A_{i} \right) = P \left( \overline{A_{i}} \right) 이고, 이는 곧 P(∂Ai)=0P \left( \partial A_{i} \right) = 0 이므로 가정 (5)(5) 에 따라 lim⁡n→∞Pn(Ai)=P(Ai)\displaystyle \lim_{n\to\infty} P_{n}(A_{i}) = P(A_{i}) 다. h(x):=∑i=1mti−11Ai(x) h(x) := \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} 1_{A_{i}} (x) 이제 새로운 함수 hh 를 위와 같이 정의하자. hh 는 mm 개의 유한한 함수값들을 가지는 단순 함수가 되며, 조건 (iii) 에서 h(x)≤g(x)≤h(x)+εh(x) \le g(x) \le h(x) + \varepsilon 임을 알 수 있다. ∣Pn(g)−P(g)∣=∣∫SgdPn−∫SgdP∣=∣∫S(g−h)dPn+∫ShdPn−∫ShdP+∫S(h−g)dP∣≤∣∫S(g−h)dPn∣+∣∫ShdPn−∫ShdP∣+∣∫S(h−g)dP∣≤ε+∣∑i=1mti−1∫S1AiPn−∑i=1mti−1∫S1AiP∣+ε≤2ε+∣∑i=1mti−1[Pn(Ai)−P(Ai)]∣ \begin{align*} \left| P_{n}(g) - P(g) \right| =& \left| \int_{S} g dP_{n} - \int_{S} g dP \right| \\ =& \left| \int_{S} (g-h) dP_{n} + \int_{S} h dP_{n} - \int_{S} h dP + \int_{S} (h-g) dP \right| \\ \le & \left| \int_{S} (g-h) dP_{n} \right| + \left| \int_{S} h dP_{n} - \int_{S} h dP \right| + \left| \int_{S} (h-g) dP \right| \\ \le & \varepsilon + \left| \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} \int_{S} 1_{A_{i}} P_{n} - \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} \int_{S} 1_{A_{i}} P \right| + \varepsilon \\ \le & 2 \varepsilon + \left| \sum_{i=1}^{m} t_{i-1} \left[ P_{n}(A_{i}) - P(A_{i}) \right] \right| \end{align*} 한편 위에서 lim⁡n→∞Pn(Ai)=P(Ai)\displaystyle \lim_{n\to\infty} P_{n}(A_{i}) = P(A_{i}) 이므로 n→∞n \to \infty 일 때 Pn(g)→P(g)P_{n}(g) \to P(g) 다. gg 는 바운디드고 연속이므로 약한 수렴의 정의에 따라 Pn→WPP_{n} \overset{W}{\to} P 다.

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