확률과정론에서의 프로젝션 매핑
정의
공간 $S$ 가 거리 공간 $( S , \rho)$ 이면서 가측 공간 $(S,\mathcal{B}(S))$ 이고 $k \in \mathbb{N}$ 이라 하자.
- 이산형 프로젝션 매핑: (이산 시간) $N = \left\{ n \in \mathbb{N}: n \le \xi, \xi \in [0,\infty] \right\}\subset \mathbb{N}$ 과 $S$ 의 $\displaystyle S^{\sup N}:= \prod_{n \in N} S$ 의 원소 $x:= (x_{1} , x_{2} , \cdots )$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $\pi_{k}: S^{\sup N} \to S^{k}$ 를 (이산형) 프로젝션 매핑이라 한다. $$ \pi_{k} (x) = (x_{1} , x_{2} , \cdots , x_{k}) $$
- 연속형 프로젝션 매핑: (연속 시간) $T \subset [0,\infty]$ 에 대해 $\displaystyle S^{T}:= \prod_{t \in T} S$ 의 원소 $x_{t} = x(t)$ 와 유한 집합 $T_{k}:=\left\{ t_{1} , t_{2} , \cdots , t_{k} \right\} \subset T$ 에 대해 다음과 같이 정의된 $\pi_{T_{k}}: S^{T} \to S^{k}$ 를 (연속형) 프로젝션 매핑이라 한다. $$ \pi_{T_{k}} (x) = (x_{t_{1}} , x_{t_{2}} , \cdots , x_{t_{k}}) $$
- $\displaystyle X = \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_{\alpha}$ 와 같은 표현은 공간의 데카르트 곱을 의미한다.
설명
수학 전반에서 위와 같은 사상을 프로젝션 매핑이라고 하며, 그 성질이 어떻든 보통 그 본질적인 개념은 차원을 줄이는 것에 있다. 확률과정론에서도 마찬가지의 용도로 도입되어 마찬가지의 방법으로 쓰이고 있다. 확률론에서 차원을 줄인다는 것은 어떠한 공간이든 세퍼레이팅 클래스를 생각해서 확률 변수의 같음, 확률 변수의 수렴을 논하겠다는 의도가 들어있다. 무한하게 이어지는 확률 과정이 이산형이든 연속형이든 뭐든 유한한 부분에 대해서만 살펴보고 판단할 수 있다면 좋을 것이다.
정의만 봐서는 이해가 안 되는 게 정상이니 아래의 예시들을 보고 이해하도록 하자. 따로 증명하는 것은 없으므로 $\pi$ 가 어떤 역할을 하는지, 세퍼레이팅 클래스가 어떻게 만들어지는지에 중점을 두고 읽으면 된다. 어떤 공간이든 우선은 가분 공간이고 완비 공간이라서 폴란드 공간임을 논할 것이다. 어떤 공간이 폴란드 공간이라는 것은 거기서 정의된 확률 측도가 타이트하므로 우리가 다루기 쉬운 공간이 된다는 것이다:
- (1) 다변량 확률변수: 확률과정론의 관점에서 보기에는 다변량 확률 변수조차 확률 변수의 유한 시퀀스에 지나지 않는다. 고작 유한인 $k$차원이면 프로젝션 매핑이 나설 자리도 없다. $S = \mathbb{R}^{k}$ 에 유클리드 거리 $\rho = d_{2}$ 가 주어지면 $\left( \mathbb{R}^{k} , \rho \right)$ 는 $\mathbb{Q}^{k}$ 가 존재해서 가분성과 완비성을 동시에 만족하고, 다음의 집합은 세퍼레이팅 클래스가 된다. $$ \left\{ (-\infty,x_{1}] \times \cdots \times (-\infty,x_{k}]: (x_{1} , \cdots , x_{k}) \in \mathbb{R}^{k} \right\} $$
- (2) 확률 과정: $S = \mathbb{R}^{\infty}$ 의 두 원소 $x:= (x_{1} , x_{2}, \cdots )$ 와 $y:= (y_{1} , y_{2}, \cdots )$ 에 대해 거리 $\rho$ 를 다음과 같이 정의하면 $(\mathbb{R}^{\infty},\rho)$ 는 거리 공간이 된다.
$$
\rho (x,y):= \sum_{i=1}^{\infty} {{ 1 } \over { 2^{i} }} \left( 1 \land \left| x_{i} - y_{i} \right| \right)
$$
시퀀스는 함수고, 이렇게 생긴 함수 공간은 완비성을 가짐을 어렵지 않게 보일 수 있다. 또한 유한 차원일 때와 마찬가지로 $\mathbb{Q}^{\infty}$ 가 존재해서 가분성이 있음을 같은 방식으로 보일 수 있다. 이제 클래스 $\mathcal{C}$ 를 다음과 같이 정의해보자.
$$
\mathcal{C}:= \left\{ \pi_{k}^{-1}(H): H \in \mathcal{B} \left( \mathbb{R}^{k} \right) \right\}
$$
이 $\pi_{k}^{-1}(H) \subset \mathbb{R}^{\infty}$ 들이 어떻게 생겨먹었는지 감을 잡기 위해 몇가지 예시들을 살펴보자:
- (2)-1. $k=1$, $H = \left\{ 3 \right\}$ $$\pi_{1}^{-1}(H) = \left\{ (3, \times , \cdots), (3, \times , \cdots) , \cdots \right\} $$
- (2)-2. $k=1$, $H = \left\{ 3, 5 \right\}$ $$ \pi_{1}^{-1}(H) = \left\{ (5, \times , \cdots), (3, \times , \cdots), (3, \times , \cdots) , \cdots \right\} $$
- (2)-3. $k=1$, $H = \left\{ (x_{1} , x_{2}): x_{1} = 1 , x_{2} \in [0,2] \right\}$ $$ \pi_{2}^{-1}(H) = \left\{ (1, 0, \times , \cdots), (1, 1.24, \times , \cdots), (1, 1, \times , \cdots) , \cdots \right\} $$ 모든 $k\in \mathbb{N}$ 와 보렐 셋 $H \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R}^{k} \right)$ 에 대해 $\mathcal{C}$ 는 파이 시스템이고 $\sigma ( \mathcal{C}) = \mathcal{B} \left( \mathbb{R}^{\infty} \right)$ 이라는 점을 이용해 $\mathcal{C}$ 가 세퍼레이팅 클래스임을 보인다.
- (3) 확률 패스: 폐구간 $[a,b]$ 이 정의역인 연속 함수들로 이루어진 공간 $S = C[a,b]$ 를 생각해보자. 두 연속함수 $x,y \in C[a,b]$ 에 대해 거리 $\rho$ 를 다음과 같이 정의하면 $(\mathbb{R}^{\infty},\rho)$ 는 거리 공간일 뿐만 아니라 바나흐 공간이 되어 완비성을 가진다.
$$
\rho (x,y):= \sup_{t \in [a,b]} \left| x(t) - y(t) \right|
$$
가분성을 보이는 것은 다른 예시들과 크게 다르지 않다. $[a,b]$ 사이의 유한하게 많은 $m$ 개의 점에서 함숫값이 유리수고 그 사이를 직선으로 이은 연속함수들의 집합 $D_{m}$, 그리고 $\displaystyle D = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} D_{m}$ 에 의해 $C[a,b]$ 는 가분성을 가진다. 이제 클래스 $\mathcal{C}$ 를 다음과 같이 정의해보자.
$$
\mathcal{C}:= \left\{ \pi_{t_{k}}^{-1}(H): H \in \mathcal{B} \left( \mathbb{R}^{k} \right) \right\}
$$
이것은 어떤 시점 $t_{i}$ 에서 함수값 $x(t_{i})$ 가 $H$ 에 따라 특정 영역을 지나느 연속함수들을 모두 모은 것이다. 말은 어렵지만 그림을 보면 한결 이해하기 쉽다:
- (3)-1. $T_{1}= \left\{ t_{1} \right\}$, $H = \left\{ 3 \right\}$
- (3)-1. $T_{1}= \left\{ t_{1} \right\}$, $H = \left\{ 3 \right\}$
$\pi_{T_{1}}^{-1}(H)$ 는 위의 그림처럼 한 점 $(t_{1},3)$ 을 지나는 연속 함수들을 모은 집합이다.
- (3)-2. $T_{1}= \left\{ t_{1} \right\}$, $H = \left\{ 3, 5 \right\}$
$\pi_{T_{1}}^{-1}(H)$ 는 위의 그림처럼 두 점 $(t_{1},3)$ 혹은 $(t_{1},5)$ 을 지나는 연속 함수들을 모은 집합이다.
- (3)-3. $T_{2}= \left\{ t_{1} , t_{2} \right\}$, $H = \left\{ (x_{1} , x_{2}): x_{1} = 1 , x_{2} \in [0,2] \right\}$
$\pi_{T_{2}}^{-1}(H)$ 는 위의 그림처럼 한 점 $(t_{1},1)$ 와 $t_{2}$ 에서의 구간 $[0,2]$ 을 지나는 연속 함수들을 모은 집합이다.