폴란드 공간

정의

다음의 조건들을 만족시키는 위상 공간 $X$ 를 폴란드 공간이라 한다.

(i): $X$ 는 거리화 가능 공간이다.
(ii): $X$ 는 가분 공간이다.
(iii): $X$ 는 완비 공간이다.

설명

원어가 Polish Space 인데 순화된 표현이 폴란드 공간 인 것에서 짐작할 수 있듯, 우리가 아는 ‘폴란드’에서 따온 말이 맞다. 이 공간이 처음 활발하게 연구한 것이 폴란드 출신의 위상수학자들과 논리학자들이었기 때문에 이런 이름이 붙었다. 이름에 대해 조금 더 이야기를 해보자면, 조건 (i)에서 거리화 가능 공간이 아니라 정확히 거리 공간 $(X,d)$ 가 되면 폴란드 거리 공간이라 부른다. 하지만 폴란드 공간의 실제 응용에서 거리화 가능성이 지나치게 일반적이라 판단되고, 사실 거리 공간으로 충분하다면 맥락상 그냥 폴란드 (거리) 공간 을 폴란드 공간이라 부르기도 한다.폴란드 공간은 완비 거리 공간이라는 상식적인 공간에서 가분성이라는 성질을 더했다. 세퍼러블하다는 것은 카운터블한 것과 관계가 많아서 측도론, 그 중에서도 특히 확률론에서 응용되기 쉽다.