완비 거리 공간의 성질들
성질
$(X,d)$ 가 거리 공간이고 $K \subset X$ 라 하자.
- [1]: $K$ 는 완비 부분 공간이다. $\iff$ $X$ 에서 $K$가 닫힌 집합이다.
- [2]: $K$ 는 완전 유계 공간 $\iff$ $X$에서 닫힌 집합 $K$ 는 컴팩트이다.
설명
완비 거리 공간은 완비성을 가지는 거리 공간이라는 점에서 어지간한 상식적 성질을 다 갖추었다고 볼 수 있는 공간이다. 여기서 놈드 벡터 스페이스가 되면 바나흐 공간, 거기에 내적까지 정의되면 힐베르트 공간이 된다. 한편 놈드 벡터 스페이스랑 상관 없이, 세퍼러블하면 폴란드 공간이라고도 부른다.
증명
[1]
$(\Longrightarrow)$
$x \in X$가 $K$ 의 집적점이다. $\iff$ $x$로 수렴하는 $K$ 의 서로 다른 점들의 수열이 존재한다.
$x \in X$ 가 $K$ 의 집적점이라고 하면 $x$ 에 수렴하는 $K$ 의 서로 다른 점들의 수열 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 존재한다. $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 는 서로 다른 점들로 이루어져있으므로 코시 수열이고, $K$ 는 완비 공간이므로 $x \in K$ 이어야한다. 따라서 $K$ 는 닫힌 집합이 된다.
$(\Longleftarrow)$
$\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 $K$ 의 점들로 이루어진 코시 수열이라고 하자. $X$ 는 완비 공간이므로 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 는 어떤 $x \in X$ 로 수렴한다. 그런데 $K$ 가 닫힌 집합이므로 $x \in K$ 고, 이는 모든 코시 수열에 대해 마찬가지이므로 $K$ 는 $X$ 의 완비 부분 공간이어야 한다.
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전략(b): $(\Longleftarrow)$ 는 자명하다. $(\Longrightarrow)$에서 $K$가 점렬 컴팩트 공간임을 보인 후 보렐-르벡 정리를 사용한다. 거리 공간 $K$ 가 점렬 컴팩트sequentially compact 공간이라는 것은 $K$ 의 모든 시퀀스가 $K$ 의 한 점으로 수렴하는 서브 시퀀스를 갖는 공간이라는 뜻이다.
[2]
$(\Longrightarrow)$
$\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 가 닫힌 집합 $K$ 의 점들로 이루어진 수열이라고 하자. 모든 $m \in \mathbb{N}$ 에 대해 $K$ 에 대한 $1/m$-넷 $A_{\varepsilon}$ 가 존재하므로 무한히 많은 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $x_{n}$ 을 포함하게끔 하는 어떤 열린 볼 $B_{m} := B_{d} ( x, 1/m)$ 도 항상 존재한다. $m=1$ 에 대해 $N_{1} \subset \mathbb{N}$ 을 $N_{1} := \left\{ n : x_{n} \in B_{1} \right\}$ 과 같이 정의하자. 여기서 $n_{1} \in N_{1}$ 을 뽑는다. $m=2$ 에 대해 $N_{2} \subset \mathbb{N}$ 을 $N_{2} := \left\{ n : x_{n} \in B_{1} \cap B_{2} \right\}$ 과 같이 정의하자. 여기서 $n_{2} \in N_{2}$ 을 뽑는다. 이러한 방식으로 모든 $m=k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $N_{k} \subset \mathbb{N}$ 을 $N_{k} := \left\{ n : x_{n} \in \bigcap_{i=1}^{k} B_{k} \right\}$ 과 같이 정의하자. 여기서 $n_{k} \in N_{k}$ 을 뽑는다. 그러면 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 는 $\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 의 부분 수열이면서 모든 $l \ge k$ 에 대해 $x_{l} \in B_{k}$ 이므로 코시 수열이다. $X$ 는 완비 공간이므로 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 는 $X$ 의 한 점으로 수렴하는데, 특히 $K$ 가 닫힌 집합이므로 $K$ 의 한 점으로 수렴한다.
거리 공간 $(X, \rho)$ 에 대해 다음은 모두 동치다.
$K$ 의 모든 시퀀스가 $K$ 의 한 점으로 수렴하는 서브 시퀀스를 가짐을 보였으므로 $K$ 는 점렬 수렴하고, 보렐-르벡 정리에 따라 닫힌 집합 $K$ 는 컴팩트다.
$(\Longleftarrow)$
닫힌 집합 $K$ 가 컴팩트하므로 모든 $\varepsilon>0$ 에 대해 $K$ 에 대한 $\varepsilon$-넷이 존재한다. 따라서 $K$ 는 완전 유계다.
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