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보렐-르벡 정리 📂거리공간

보렐-르벡 정리

정리

거리 공간 (X,ρ)(X, \rho) 에 대해 다음은 모두 동치다.

(a) XX 는 컴팩트 공간이다.

(b) XX 는 시퀀셜리 컴팩트 공간이다.

(c) XX 는 완비 공간이고 완전 유계 공간이다.

설명

거리공간 XX 가 시퀀셜리 컴팩트sequentially compact 공간이라는 것은 XX 의 모든 시퀀스가 XX 의 한 점으로 수렴하는 서브 시퀀스를 갖는 공간이라는 뜻이다.보렐-르벡 정리는 거리 공간에서 컴팩트의 여러 필요충분조건을 제공한다. 다만 이 이름은 별로 유명하지 않고, 그냥 거리 공간에서 컴팩트의 동치조건 정도로만 소개되는 경우가 많다.

증명

  • (a)   ⟹  \implies (b)

    XX 에서 정의된 시퀀스 {xn}n∈N\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 이 수렴하는 서브 시퀀스를 가지지 않는다고 가정해보자. 그러면 모든 i≠ji \ne j 에 대해 xj∉N(xi)x_{j} \notin \mathcal{N} (x_{i}) 을 만족하는 xix_{i} 의 오픈 네이버후드 N(xi)\mathcal{N}(x_{i}) 가 존재할 것이다. N0:=X∖{xn}\mathcal{N}_{0} := X \setminus \left\{ x_{n} \right\} 은 오픈 셋이므로 {N0}∪{N(xn):n∈N}\left\{ \mathcal{N}_{0} \right\} \cup \left\{ \mathcal{N}(x_{n}) : n \in \mathbb{N} \right\} 은 XX 의 오픈 커버인데, 이것의 모든 유한 오픈 서브커버는 반드시 {xn}\left\{ x_{n} \right\} 중에서 무한히 많은 점을 빠뜨릴 수밖에 없다. 이는 XX 가 컴팩트라는 가정에 모순이다.

  • (b)   ⟹  \implies (c)

    우선 XX 가 완비 공간임을 보이자.

{xn}n∈N\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 가 XX 에서 정의된 코시 시퀀스라고 하자. XX 가 시퀀셜리 컴팩트라는 것은 시퀀스 {xn}n∈N\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 가 수렴하는 서브 시퀀스 {xnk}k∈N\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 를 가진다는 것이다. 다시 말해 k→∞k \to \infty 일 때 어떤 x∈Xx \in X 에 대해 xnk→xx_{n_{k}} \to x 인데, 주어진 ε>0\varepsilon >0 에 대해 i,j≥Ni, j \ge N 가 무엇이 되든 ρ(xi,xj)<ε/2\rho (x_{i}, x_{j}) < \varepsilon / 2 이 성립하게끔 충분히 큰 N∈NN \in \mathbb{N} 을 잡자. 그리고 ρ(xnk,x)<ε/2\rho (x_{n_{k}} , x) < \varepsilon/2 이 성립하게끔 nk≥Nn_{k} \ge N 을 잡으면

ρ(x,xN)≤ρ(x,xnk)+ρ(xnk,xN)=ε/2+ε/2=ε \begin{align*} \rho (x,x_{N}) \le & \rho (x,x_{n_{k}}) + \rho (x_{n_{k}} , x_{N}) \\ =& \varepsilon/2 + \varepsilon/2 \\ =& \varepsilon \end{align*}

따라서 XX 는 완비 공간이다. 이제 XX 가 완전 유계 공간임을 보이기 위해 XX 가 유한히 많은 반경 ε\varepsilon 의 볼들로 커버되지 않는다고 가정해보자. 시퀀스 {xn}n∈N\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 를 다음과 같이 잡자.

x1∈Xx2∈X∖Bρ(x1;ε)x3∈X∖Bρ(x1;ε)∖Bρ(x2;ε)⋮ x_{1} \in X \\ x_{2} \in X \setminus B_{\rho}(x_{1};\varepsilon) \\ x_{3} \in X \setminus B_{\rho}(x_{1};\varepsilon) \setminus B_{\rho}(x_{2} ; \varepsilon) \\ \vdots

이 시퀀스는 수렴하는 서브 시퀀스를 갖지 않으므로 XX 가 시퀀셜리 컴팩트라는 가정에 모순이다. 따라서 XX 는 완전 유계 공간이어야한다.

  • (c)   ⟹  \implies (b)

    XX 는 완전 유계 공간이므로 모든 n∈Nn \in \mathbb{N} 에 대해

    X⊂Bρ(y1(n);1n)∪⋯∪Bρ(ykn(n);1n) X \subset B_{\rho} \left( y_{1}^{(n)} ; {{ 1 } \over { n }} \right) \cup \cdots \cup B_{\rho} \left( y_{k_{n}}^{(n)} ; {{ 1 } \over { n }} \right)

    를 만족하는 유한 집합의 시퀀스 Sn:={y1(n),⋯ ,ykn(n)}S_{n}:= \left\{ y_{1}^{(n)}, \cdots , y_{k_{n}}^{(n)} \right\} 이 존재한다. 이제 XX 에서 정의된 임의의 시퀀스 {xn}n∈N\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 에 대해 수렴하는 서브 시퀀스 {zn}n∈N\left\{ z_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 를 다음과 같은 방법으로 직접 찾아내려고 한다.

S1S_{1} 은 유한 집합이므로 가장 마지막 원소 yk1(1)y_{k_{1}}^{(1)} 를 특정할 수 있고, Bρ(yk1(1);11) B_{\rho} \left( y_{k_{1}}^{(1)} ; {{ 1 } \over { 1 }} \right) 는 {xn}n∈N\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 의 점을 무수히 많이 가진다. 이 중 하나를 골라 z1∈Bρ(yk1(1);11)z_{1} \in B_{\rho} \left( y_{k_{1}}^{(1)} ; {{ 1 } \over { 1 }} \right) 을 정한다. s2s_{2} 도 유한 집합이므로 가장 마지막 원소 yk2(2)y_{k_{2}}^{(2)} 를 특정할 수 있고, 비슷하게 z2∈Bρ(yk1(1);11)∩Bρ(yk2(2);12)z_{2} \in B_{\rho} \left( y_{k_{1}}^{(1)} ; {{ 1 } \over { 1 }} \right) \cap B_{\rho} \left( y_{k_{2}}^{(2)} ; {{ 1 } \over { 2 }} \right) 을 정한다. 이렇게 모든 m∈Nm \in \mathbb{N} 에 대해 zk∈⋂i=1mBρ(yki(i);1m)\displaystyle z_{k} \in \bigcap_{i=1}^{m} B_{\rho} \left( y_{k_{i}}^{(i)} ; {{ 1 } \over { m }}\right) 을 잡으면 {zn}\left\{ z_{n} \right\} 는 자연스럽게 코시 수열이 된다. XX 는 완비 공간이므로 znz_{n} 는 XX 의 한 점으로 수렴한다. 임의의 시퀀스 {xn}n∈N\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 에 대해 수렴하는 서브 시퀀스 {zn}n∈N\left\{ z_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 가 존재함을 보였으므로 XX 는 시퀀셜리 컴팩트다.

  • (b)   ⟹  \implies (a)

    XX 의 오픈 커버 {Ui:i∈I}\left\{ U_{i} : i \in I \right\} 와 r>0r>0 이 주어져 있다고 할 때 모든 i∈Ii \in I 에 대해 Bρ(x;r)⊈UiB_{\rho} (x; r) \nsubseteq U_{i} 를 만족하는 x∈Xx \in X 가 존재한다고 가정해보자. 그러면 이제 모든 i∈Ii \in I 에 대해 Bρ(xn;1/n)⊈UiB_{\rho}(x_{n} ; 1/n) \nsubseteq U_{i} 을 만족하게끔 하는 시퀀스 {xn}n∈N\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 를 하나 잡을 수 있을 것이다. XX 가 시퀀셜리 컴팩트라는 것은 시퀀스 {xn}n∈N\left\{ x_n \right\}_{n \in \mathbb{N}} 가 수렴하는 서브 시퀀스 {xnk}k∈N\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}} 를 가진다는 것이다. 다시 말해 k→∞k \to \infty 일 때 어떤 x∈Xx \in X 에 대해 xnk→xx_{n_{k}} \to x 인데, 이 xx 가 속하는 오픈 셋 Ui0U_{i_{0}} 이 존재할 것이다. Ui0U_{i_{0}} 이 오픈 셋이므로 Bρ(x;r0)⊆Ui0B_{\rho} (x ; r_{0}) \subseteq U_{i_{0}} 을 만족하는 r0r_{0} 이 존재한다. 이에 대해 ρ(x,xN)<r0/2\rho (x , x_{N}) < r_{0} / 2 와 1/N<r0/21/N < r_{0}/2 를 만족하도록 하는 충분히 큰 자연수 N∈NN \in \mathbb{N} 을 잡자. 만약 y∈Bρ(xN;1/N)y \in B_{\rho} (x_{N} ; 1/N) 이라고 하면

    ρ(x,y)≤ρ(x,xN)+ρ(xN,y)<r0/2+r0/2=r0 \begin{align*} \rho (x,y) \le & \rho (x,x_{N}) + \rho (x_{N},y) \\ <& r_{0}/2 + r_{0}/2 \\ =& r_{0} \end{align*}

    이므로 y∈Bρ(x;r0)⊆Ui0y \in B_{\rho} (x; r_{0}) \subseteq U_{i_{0}} 이다. 즉

    Bρ(xN;1/N)⊆Bρ(x;r0)⊆Ui0 B_{\rho} (x_{N} ; 1/N) \subseteq B_{\rho} (x; r_{0}) \subseteq U_{i_{0}}

    인데, 이는 모순이므로 모든 x∈Xx \in X 와 어떤 i∈Ii \in I 에 대해 Bρ(x,r)⊆UiB_{\rho}(x,r) \subseteq U_{i} 을 만족하게끔하는 r>0r>0 이 존재해야한다. (b)   ⟹  \implies (c) 에서 시퀀셜리 컴팩트 공간은 완전 유계임을 보였으므로, X⊂⋃i=1nBρ(y1;r)\displaystyle X \subset \bigcup_{i=1}^{n} B_{\rho}(y_{1} ; r) 를 만족시키는 유한히 많은 점 y1,⋯ ,yn∈Xy_{1} , \cdots , y_{n} \in X 들이 존재한다. 물론 각각의 yiy_{i} 들은 어떤 ki∈Ik_{i} \in I 에 대해 Br(yi)⊂UkiB_{r}(y_{i}) \subset U_{k_{i}} 이므로 {Uk1,⋯ ,Ukn}\left\{ U_{k_{1}} , \cdots , U_{k_{n}} \right\} 은 오픈 커버 {Ui:i∈I}\left\{ U_{i} : i \in I \right\} 의 유한 부분커버가 된다. 따라서 XX 는 컴팩트다.

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