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벡터값 함수의 도함수 📂다변수벡터해석

벡터값 함수의 도함수

정의1

벡터함수 r:I⊂R→R3\mathbf{r} : I \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{3}에 대해서, 아래의 극한이 존재하면 r\mathbf{r}이 tt에서 미분가능하다고 하며 그 값을 r\mathbf{r}의 tt에서의 미분계수derivative라 한다.

drdt=r′(t):=lim⁡h→0r(t+h)−r(t)h \dfrac{d \mathbf{r}}{d t} = \mathbf{r}^{\prime}(t) := \lim_{h \to 0} \dfrac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}

모든 t∈It \in I에 대해서 r′(t)\mathbf{r}^{\prime}(t)가 존재하면, r\mathbf{r}가 II에서 미분가능하다고 한다. r\mathbf{r}이 II에서 미분가능할 때, II 위에서 정의된 r′\mathbf{r}^{\prime}을 r\mathbf{r}의 도함수derivative라 한다.

설명

스칼라 함수 f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}에 대한 도함수의 정의를 그대로 확장시킨 것이다.

f′(a):=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h f^{\prime} (a) := \lim_{h \to 0} {{ f (a + h ) - f(a) } \over { h }}

정의에서 R3\mathbb{R}^{3}가 아니라 Rn\mathbb{R}^{n}이어도 같은 방식으로 정의된다. 아래의 정리에 의해 mm계 도함수는 다음과 같다.

r(m)(t)=(f(m)(t),g(m)(t),h(m)(t)) \mathbf{r}^{(m)}(t) = \left( f^{(m)}(t), g^{(m)}(t), h^{(m)}(t) \right)

정리

미분가능한 함수 fi:R→Rf_{i} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}에 대해서 r(t)=(f1(t),…,fn(t))\mathbf{r}(t) = \left( f_{1}(t), \dots, f_{n}(t) \right)이면,

r′(t)=(f1′(t),…,fn′(t)) \mathbf{r}^{\prime}(t) = \left( f_{1}^{\prime}(t), \dots, f_{n}^{\prime}(t) \right)

증명

간단한 계산으로 보일 수 있다. 극한의 정의에 의해,

r′(t)=lim⁡h→0r(t+h)−r(t)h=lim⁡h→0(f1(t+h),…,fn(t+h))−(f(t),…,fn(t))h=lim⁡h→0(f1(t+h)−f1(t)h,…,fn(t+h)−fn(t)h)=(lim⁡h→0f1(t+h)−f1(t)h,…,lim⁡h→0fn(t+h)−fn(t)h)=(f1′(t),…,fn′(t)) \begin{align*} \mathbf{r}^{\prime}(t) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{(f_{1}(t+h), \dots, f_{n}(t+h)) - (f(t), \dots, f_{n}(t))}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{f_{1}(t+h) - f_{1}(t)}{h}, \dots, \dfrac{f_{n}(t+h) - f_{n}(t)}{h} \right) \\ &= \left( \lim_{h \to 0}\dfrac{f_{1}(t+h) - f_{1}(t)}{h}, \dots, \lim_{h \to 0}\dfrac{f_{n}(t+h) - f_{n}(t)}{h} \right) \\ &= \left( f_{1}^{\prime}(t), \dots, f_{n}^{\prime}(t) \right) \end{align*}

성질

두 벡터함수 u,v:R→Rn\mathbf{u}, \mathbf{v} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}와 스칼라함수 f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, 상수 c∈Rc \in \mathbb{R}에 대해서 다음이 성립한다.

1. 선형성: ddt[u(t)±v(t)]=u′(t)±v′(t)\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \pm \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}^{\prime}(t) \pm \mathbf{v}^{\prime}(t)

2. 선형성: ddt[cu(t)]=cu′(t)\dfrac{d}{dt} [c \mathbf{u}(t)] = c \mathbf{u}^{\prime}(t)

3. 곱의 미분법: ddt[f(t)u(t)]=f′(t)u(t)+f(t)u′(t)\dfrac{d}{dt} [f(t) \mathbf{u}(t)] = f^{\prime}(t) \mathbf{u}(t) + f(t) \mathbf{u}^{\prime}(t)

4. 내적의 미분법: ddt[u(t)⋅v(t)]=u′(t)⋅v(t)+u(t)⋅v′(t)\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}^{\prime}(t)

5. 외적의 미분법: ddt[u(t)×v(t)]=u′(t)×v(t)+u(t)×v′(t)\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}^{\prime}(t) \times \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \times \mathbf{v}^{\prime}(t)

6. 연쇄법칙: ddt[u(f(t))]=u′(f(t))f′(t)\dfrac{d}{dt} [\mathbf{u}(f(t))] = \mathbf{u}^{\prime}(f(t)) f^{\prime}(t)

  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p898-899 ↩︎